\({\displaystyle \int\limits_{}\dfrac{\ln( x)}{x}\,\mathrm{d}x} = ?\)

Da die Ableitung von \(\varphi(x)=\ln( x)\) gerade \(\varphi'(x)=\frac{1}{x}\) ist, bietet sich die Substitution \(u=\ln( x)\) an.

Damit ist \(\frac{\mathrm{d}u}{\frac{1}{x}}=u'(x)=\frac{1}{x},\) beziehungsweise \(\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x\) und somit

\(\displaystyle\int \underbrace{\ln( x)\,}_{=u}\underbrace{\dfrac{1}{x}}_{=u'(x)}\,\mathrm{d}x = \int\limits_{}u\,\mathrm{d}u = \dfrac{u^2}{2}= \dfrac{\ln( x)^2}{2}\,.\)

Falls man ein bestimmtes Integral (d.h. ein Integral mit Grenzen) berechnen möchte, kann man auch wie folgt rechnen:

\(\displaystyle\int\limits_a^b\ln( x)\,\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int\limits_{\ln(a)}^{\ln( b)}u\,\mathrm{d}u = \dfrac{(\ln(b))^2-(\ln(a))^2}{2}\,.\)