$${\displaystyle \int\limits_{}\dfrac{\ln( x)}{x}\,\mathrm{d}x} = ?$$

Da die Ableitung von $$\varphi(x)=\ln( x)$$ gerade $$\varphi'(x)=\frac{1}{x}$$ ist, bietet sich die Substitution $$u=\ln( x)$$ an.

Damit ist $$\frac{\mathrm{d}u}{\frac{1}{x}}=u'(x)=\frac{1}{x}$$ beziehungsweise $$\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

$$\displaystyle\int \underbrace{\ln( x)\,}_{=u}\underbrace{\dfrac{1}{x}}_{=u'(x)}\,\mathrm{d}x = \int\limits_{}u\,\mathrm{d}u = \dfrac{u^2}{2}= \dfrac{\ln( x)^2}{2}$$

Falls man ein bestimmtes Integral berechnen möchte, kann man auch wie folgt rechnen:

$$\displaystyle\int\limits_a^b\ln( x)\,\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int\limits_{\ln(a)}^{\ln( b)}u\,\mathrm{d}u = \dfrac{(\ln(b))^2-(\ln(a))^2}{2}$$