\(\displaystyle\int\limits_{}\displaystyle\frac{\ln( x)}{x}\,\mathrm{d}x = ?\)

Da wir von \(f(x)=\frac{1}{x}\) eine Stammfunktion und von \(g(x)=\ln( x)\) die Ableitung kennen, ergibt sich mit partieller Integration

\(\displaystyle\int \underbrace{\displaystyle\frac{1}{x}}_{=f(x)}\,\underbrace{\ln( x)\,}_{=g(x)}\mathrm{d}x =\left[\right.\underbrace{\ln( x)\,}_{F}\cdot \underbrace{\ln( x)}_{g} \left.\right]- \int\limits_{}\underbrace{\ln( x)\,}_{F}\underbrace{\displaystyle\frac{1}{x}\,}_{g'}\mathrm{d}x\)

Die beiden Integrale links und rechts sind aber identisch. Bringt man sie beide auf die linke Seite und dividiert durch 2, dann ergibt sich als Ergebnis

\(\displaystyle\int\limits_{}\displaystyle\frac{1}{x}\,\ln( x)\,\mathrm{d}x =\displaystyle\frac{1}{2} \ln( x)^2 +C \)