Zusammenfassung und Tipps zur Integration
Zusammenfassung Integration
Liste von Stammfunktionen
Mit den Integrationstechniken, die bis hier beschrieben wurden, kann man sehr viele Integrale berechnen. Dazu gehören die folgendenen wichtigen Integrale:
| $$\begin{array}{rcl} {\displaystyle\int}x^n\,\mathrm{d}x&=&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\;\;n\neq-1\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x&=&\ln|x| + C\\ {\displaystyle\int}e^x\,\mathrm{d}x&=&e^x + C\\ {\displaystyle\int}\cos(x)\,\mathrm{d}x&=&\sin(x) + C\\ {\displaystyle\int}\sin(x)\,\mathrm{d}x&=&-\cos(x) + C\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x&=&\arctan(x)+C\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x&=&\arcsin(x)+C\\ {\displaystyle\int}\sinh(x)\,\mathrm{d}x&=&\cosh(x)+C\\ {\displaystyle\int}\cosh(x)\,\mathrm{d}x&=&\sinh(x)+C\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x&=&\mathrm{Arsinh}(x)+C\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x&=&\mathrm{Arcosh}(x)+C\\ {\displaystyle\int}\dfrac{1}{1-x^2}\,\mathrm{d}x&=&\mathrm{Artanh}(x)+C \end{array}$$ |
Da es für das Integrieren einer vorgegebenen Funktion keine feste Vorgehensweise gibt, hier noch ein paar Hinweise:
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Ohne "Vokabeln" geht es nicht. Die oben angegebene Liste elementarer Integrale sollten Sie beherrschen, damit Sie überhaupt eine Chance haben, Integrationsaufgaben erfolgreich zu lösen.
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Die drei wichtigsten Integrationsmethoden Partielle Integration, Substitution und Partialbruchzerlegung helfen, eine Vielzahl von Integralen auf solche Integrale zurückzuführen, die in der Liste enthalten sind.
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Wenn eine unbekannte Funktion zu integrieren ist, überlegen Sie zunächst, ob der Integrand oder ein Teil des Integranden Sie an ein anderes bekanntes Integral erinnert. Versuchen Sie dann, ob der restliche Teil auf eine Weise dazupasst, die partielle Integration oder Substitution nahelegt.
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Wenn ein Term im Integrand mehrfach vorkommt, lohnt es sich zu versuchen, diesen Term zu substituieren.
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Wenn Ihnen erst einmal nichts einfällt, versuchen Sie den "hässlichsten" Teil des Integrals (eine Wurzel, einen Logarithmus, einen langen Ausdruck) zu substituieren.
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Manchmal hilft es auch, den Integranden umzuformen, z um Beispiel mit Hilfe von trigonometrischen Identitäten, binomischen Formeln, Erweitern von Brüchen etc.
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Wenn Ihnen dann immer noch nichts einfällt, können Sie sich immer noch das Integral mit dem Computer berechnen lassen und mit Kenntnis des Ergebnisses überlegen, wie man von Hand auf dieses Ergebnis kommen kann.
- Vergessen Sie auch nicht, dass Sie Ihr Ergebnis später durch Differenzieren kontrollieren können. Meist hält sich der Aufwand dafür auch in Grenzen, denn Ableiten ist leichter als Integrieren.