15.1 Berechnung von Flächeninhalten
Kapitel 15: Anwendungen der Integration
15.1 Berechnung von Flächeninhalten
Der Flächeninhalt des Kreises
Für \(r>0\) ist \(\int \limits _0^ r \sqrt {r^2-x^2}\, \mathrm{d}x\) die Fläche eines Viertelkreises mit Radius $r$.
Substituiert man \(x=r\sin (t)\) mit \(t\in [0,\frac{\pi }{2}]\) so erhält man wegen \(\mathrm{d}x = r \cos (t) \, \mathrm{d}t\)
\(\displaystyle\int\limits_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2(t)}\,r\cos(t)\,\mathrm{d}t=r^2\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t)\,\mathrm{d}t=r^2\frac{\pi}{4}\,,\)
wobei das letzte Integral im Abschnitt über die partielle Integration berechnet wurde. Für die Fläche des gesamten Kreises erhalten wir also \(A=\pi r^2\) und damit genau das Resultat, das hoffentlich alle aus der Schule bereits kennen.
Versuchen Sie, mit einer ganz ähnlichen Substitution die Fläche einer (Viertel-)Ellipse zu bestimmen. Anstelle der Kreisgleichung \(x^2+y^2=r^2\) müssen Sie hier von der Gleichung \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) für eine Ellipse mit den Halbachsen \(a\) und \(b\) ausgehen.
Ein Ohmscher Verbraucher mit Widerstand \(R\) wird von einer Wechselspannungsquelle der Spannung
\(U(t)=U_0\cdot\sin(\omega t)\)
Aufgabe: Man berechne die pro Periode verrichtete elektrische Arbeit \(A\).
Lösung: Die elektrische Leistung \(W(t)\) ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke. Unter Benutzung des Ohmschen Gesetzes \(U=R \cdot I\) ergibt sich somit
\(W(t)=U(t)\cdot{I}(t)=U(t)^2\cdot\dfrac{1}{R}=\dfrac{U_0^2}{R}\cdot\sin^2(\omega t).\)
Dieser Ausdruck soll über eine Periode integriert werden, wobei eine Periode $$T=\dfrac {2\pi }{\omega }$$ beträgt Die verrichtete Arbeit ist daher
\(A=\int\limits_0^{T}W(t)\,\mathrm{d}t=\int\limits_0^T\dfrac{1}{R}{\cdot}U_0^2\sin^2({\omega}t)\,\mathrm{d}t=\dfrac{U_0^2}{R}\int\limits^{T}_{0}\sin^2({\omega}t)\,\mathrm{d}t=\dfrac{U_0^2}{R}\cdot\frac{T}{2}=\dfrac{U_0^2\pi}{R\omega},\)
Um dieselbe Arbeit mit Gleichstrom zu verrichten, wäre die Effektivspannung \(U_{eff} = \dfrac {U_0}{\sqrt {2}}\) notwendig.