Sei \(f\colon [c,d]\to \mathbb {R}\) stetig und \(\varphi : [a,b]\to [c,d]\) stetig differenzierbar. Dann ist

\(\displaystyle\int\limits_a^bf(\varphi(t))\varphi’(t)\,\mathrm{d}t=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,\mathrm{d}x.\)

1. ersetze \(x\) durch \(\varphi (u)\)

2. durch Ableiten erhält man formal \(\mathrm{d}x=\varphi ’(u)\, \mathrm{d}u\), ersetze daher \(\mathrm{d}x\) durch \(\varphi ’(u)\, \mathrm{d}u\)

3. ändere die Grenzen: \(x=a\) entspricht \(\varphi (u)=a\), d.h.  \(u=\varphi ^{-1}(a)\) und analog wird die Obergrenze zu \(\varphi ^{-1}(b)\).

1. Integrale der Form

   \(\displaystyle\int\limits_a^b\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\mathrm{d}x\)

   lassen sich durch die Substitution \(v=\varphi (x)\) berechnen, denn dann ist (rein formal) \(\mathrm{d}v = \varphi ’(x)\mathrm{d}x\), also

   \(\displaystyle\int\limits_a^b\frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}\frac{1}{v}\,\mathrm{d}v=\left[\ln(v)\right]_{v=\varphi(a)}^{\varphi(b)}=\left[\ln(\varphi(x))\right]_{x=a}^b\)

   Speziell für \(\varphi (x)=\cos x\) findet man so beispielsweise

   \(\int\tan( x)\,\mathrm{d}x=-\ln(\cos( x=)+C.\)

2. \(\displaystyle\int \sin( x)^2\cos( x)\,\mathrm{d}x= ?\)
   

   Da \(\cos( x)\) die Ableitung von \(\sin( x)\) ist, bietet sich die Substitution \(v=\sin( x)\) an. Dann ist (formal) \(\mathrm{d}v=\cos( x)\mathrm{d}x\) und somit

   \(\displaystyle\int \sin( x)^2\cos( x)\,\mathrm{d}x= \int v^2\,\mathrm{d}v=\displaystyle\frac{v^3}{3}+C=\displaystyle\frac{\sin( x)^3}{3}+C\)

   Falls man ein bestimmtes Integral berechnen möchte, muss man nicht unbedingt zurücksubstituieren, wenn man die Grenzen sorgfältig mit transformiert. Zum Beispiel ist

   \(\displaystyle\int\limits_0^{\pi/4} \sin( x)^2\cos( x)\,\mathrm{d}x= \int\limits_0^{\sqrt{2}/2} v^2\,\mathrm{d}v=\left[\displaystyle\frac{v^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}/2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}\)