14.3 Partielle Integration
14.3 Partielle Integration
Als erste Methode, um ein unbekanntes Integral auf ein anderes (hoffentlich einfacheres) Integral zurückzuführen, stellen wir die partielle Integration vor, die eine Art Umkehrung der Produktregel ist.
\(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x=\left[F(x)\cdot g(x)\right]_a^b-\int\limits_a^b F(x)\cdot g’(x)\,\mathrm{d}x.\)
Beweis: Nach der Produktregel ist
\((F\cdot g)’=F’\cdot g+F \cdot g’\)
Integriert man auf beiden Seiten von \(a\) bis \(b\), so ergibt sich mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung daraus
\(\begin{array}{rcl}\left[F(x){\cdot}g(x)\right]_a^b &= & \displaystyle\int\limits_a^b(F\cdot g)’(x)\,\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_a^b\left(F’(x)\cdot g( x)+F( x)\cdot g’(x)\right)\,\mathrm{d}x \\ & =& \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\cdot g( x)\,\mathrm{d}x+ \int\limits_a^b F( x)\cdot g’(x)\,\mathrm{d}x \end{array}\)
- Um \(\displaystyle\int \limits_a^b xe^ x \, \mathrm{d}x\) zu berechnen, setzen wir \(f( x)=e^x\) und \(g( x)=x\). Dann ist
\(\displaystyle\int\limits_a^b x e^x\,\mathrm{d}x=\left[xe^x\right]_a^b-\int\limits_a^be^x\,\mathrm{d}x=\left[xe^x-e^x\right]_a^b.\)
Eine Stammfunktion zu \(xe^x\) ist also \(F(x)=xe^x -e^x \).
Auf analoge Weise kann man auch Stammfunktionen zu \(x^m e^x\), zu \(x^m \sin( x)\) oder \(x^m \cos ( x)\) für \(m=2,3,4,\dots\) finden.
- Auch die Stammfunktionen zu \(\sin^2( x)\) und \(\cos^2 ( x)\) kann man mit partieller Integration bestimmen.
\( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int\limits_a^b\cos^2( x)\,\mathrm{d}x&=&\displaystyle\int\limits_a^b\cos( x)\cdot\cos( x)\,\mathrm{d}x=\left[\cos( x)\cdot\sin( x)\right]_a^b+\int\limits_a^b\sin^2x\,\mathrm{d}x\\&&\\&=&\left[\cos( x)\cdot\sin( x)\right]_a^b+\displaystyle\int\limits_a^b\left(1-\cos^2( x)\right)\,\mathrm{d}x \end{array} \)
Betrachtet man dies als Gleichung für das gesuchte Integral und löst diese Gleichung auf, erhält man
\(\displaystyle\int\limits_a^b\cos^2( x)\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos( x)\cdot\sin( x)+x\right]_a^b.\)
Insbesondere ist
\(\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2x\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos( x)\cdot\sin( x)+x\right]_0^{\pi/2}=\displaystyle\frac{\pi}{4}.\)
\(\displaystyle\int\limits_a^bf( x)\,\mathrm{d}x=\int\limits_a^b1{\cdot}f( x)\,\mathrm{d}x\)
schreibt und dann partiell integriert. Versuchen Sie zum Beispiel, auf diese Weise \(\displaystyle\int \ln (x)\, \mathrm{d}x\) oder \(\displaystyle\int \arctan (x)\, \mathrm{d}x\) zu berechnen.