15.2 Kurven und ihre Länge

Eine sehr allgemeine Art, mit der man Kurven in der Ebene beschreiben kann, ist die Parameterdarstellung. Dabei durchläuft ein Parameter $$t$$ ein Intervall $$[a,b]$$ während der durch zwei differenzierbare Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ definierte Punkt $P(t)=(x(t),y(t))\in \mathbb {R}^2$ sich in der Ebene stetig ändert. Man kann sich den Parameter $t$ gut als Zeit vorstellen und die Kurve als Bahn eines Teilchens in der Ebene.

Beispiele:
  1. Kreislinie
    Ein Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $(x_ M, y_ M)$ lässt sich durch

    $\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}x_M+r\cos(t)\\y_M+r\sin(t)\end{array}\right)$

    mit $$0\leq t{\leq }2\pi $$ parametrisieren. Dies ist zwar nur eine von unendlich vielen möglichen Parametrisierungen, aber sicher die mit großem Abstand am häufigsten vorkommende. Interpretiert man diese Parameterdarstellung als Bahnkurve, so bewegt sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit.

    Kreis

  2. Ellipse
    Eine Ellipse mit den Halbachsen $$a$$ und $$b$$, die durch die Gleichung $$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$$ gegeben ist, lässt sich ähnlich wie der Kreis parametrisieren durch
    $$\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}a\cos(t)\\b\sin(t)\end{array}\right)$$
    mit $$0\leq t\leq 2\pi $$. Dies ist zwar nur eine von unendlich vielen möglichen Parametrisierungen, aber sicher die mit großem Abstand am häufigsten vorkommende. Interpretiert man diese Parameterdarstellung als Bahnkurve, so bewegt sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit.

    Kurve Ellipse

  3. Kardiodide
    Auch durch
    $$\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}a\cos(t)(1+\cos(t))\\a\sin(t)(1+\cos(t))\end{array}\right)$$
    mit $$0\leq t{\leq }2\pi $$ wird eine Kurve in der Ebene definiert. Diese heißt Herzkurve oder Kardiodide . Man beachte, dass diese Kurve eine "‘Spitze"’ besitzt, obwohl die Ausdrücke für $x(t)$ und $$y(t)$$ "glatt", d.h. differenzierbar sind.

    Kurve Kardiodide

Mt dem folgenden Applet können Sie selbst ausprobieren, wie man Kurven durch eine Parameterdarstellung erzeugen kann.

Geogebra-Applet: Parameterdarstellung von Kurven

Definition (reguläre Kurve):
Eine parametrisierte Kurve $$\gamma $$ mit Parametrisierung

$$\gamma(t)=\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)$$

heißt regulär, wenn $$\dot{x}(t)$$ und $$\dot{y}(t)$$ stetige Funktionen sind, die nie gleichzeitig verschwinden, d.h.

$$\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2\neq0$$

für alle $$t$$.

Man kann reguläre Kurven "‘ungeschickt"’ parametrisieren, so dass sie nicht mehr regulär sind. Es gibt jedoch auch Kurven, die in keiner Parametrisierung regulär sind, zum Beispiel die Neilsche Parabel

$$\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}t^2\\t^3)\end{array}\right)$$

Figures/neilsche_parabel
Diese Kurven wollen wir im folgenden Abschnitt nicht berücksichtigen.

Eine weitere Klasse von Kurven in der Ebene sind die Schaubilder von stetigen Funktionen.

Beispiel (Graph einer Funktion):
Der Graph einer stetigen Funktion $$f:[a,b]\to \mathbb {R}$$ besitzt die Parameterdarstellung
$$\left(\begin{array}{r}x(t)\\y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}t\\ft)\end{array}\right)$$
mit $$a\leq t{\leq }b$$

Bemerkung:
Ganz genauso kann man Kurven im Raum durch die Parameterdarstellung $$\vec{c}(t)\! =\! \left(\! \! \begin{array}{r} x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\! \! \right) $$ angeben.

Tangentenvektor

Stellt man sich $$\vec{c}(t)$$ als Bahnkurve eines Teilchens vor, dann ist die momentane Geschwindigkeit die Ableitung $$\dot{\vec{c}}(t)$$, die man komponentenweise bildet:

$$\vec{t}(x)=\dot{\vec{c}}(t)=\left(\begin{array}{r}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\end{array}\right).$$

Dieser Vektor ist immer tangential an die Kurve und heißt Tangentenvektor. Seine Länge beschreibt die Momentangeschwindigkeit.

Wenn $$\vec{c}(t)$$ eine reguläre Kurve beschreibt, dann ist $$\vec{t}(x)\neq \vec{0}$$, d.h. die Geschwindigkeit ist immer positiv.

Beispiele:
  1. Wenn $$\vec{c}(t)=\left(\!\!\begin{array}{r} \cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\!\right)$$ den Einheitskreis durchläuft, dann ist $$\vec{t}(x)=\left(\!\!\begin{array}{r} -\sin (t)\\ \cos (t)\end{array}\!\!\right)$$ der Tangentenvektor im Punkt $$\vec{c}(t)$$.
  2. Für die Ellipse mit $$\vec{c}(t)=\left(\!\!\begin{array}{r} a\cos (t)\\ b\sin (t)\end{array}\!\!\right)$$ ist der Tangentenvektor $$\vec{t}(x)=\left(\!\!\begin{array}{r} -a\sin (t)\\ b\cos (t)\end{array}\!\!\right)$$.


最終更新日時: 2015年 08月 28日(金曜日) 15:18