12.1 Die Ableitung einer Funktion
Kapitel 12: Differentiation
12.1 Die Ableitung einer Funktion
Sei \((a,b)\subset \mathbb {R}\) ein offenes Intervall und \(x_0\in (a,b)\). Dann heißt die Funktion \(f\colon(a,b)\to \mathbb {R}\) differenzierbar im Punkt \(x_0\), falls der Grenzwert
\(\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{f( x_0+h)-f( x_0)}{h}\)
existiert. Wir nennen diesen Grenzwert \(f’( x_0)\) die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\).
Die Funktion \(f\) heißt differenzierbar auf dem Intervall \((a,b)\), falls sie in jedem Punkt \(x_0\in (a,b)\) differenzierbar ist.
Die Ableitung hat eine einfache geometrische Interpretation: Für kleines, aber endliches \(h\) gibt der Differenzenquotient \(\displaystyle \frac {f( x_0+h)-f( x_0)}{h}\) die Steigung der Sehne (oder Sekante) durch zwei Punkte auf dem Graphen von \(f\) an. Für \(h\to 0\) geht die Sekante in die Tangente an den Graphen im Punkt \(( x_0,f( x_0))\) über. Die Ableitung im Punkt \(x_0\) entspricht also gerade der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(( x_0,f( x_0))\).
Geogebra-Applet: Ableitung
Die Punkte P und Q lassen sich auf dem Graph verschieben, so dass man den Übergang von der Sekante zur Tangente nachvollziehen kann.
Andere Schreibweisen für die Ableitung sind \(\displaystyle \frac{d}{dx} f\), \(\displaystyle \frac{df}{dx}\) oder \(\dot{f}\). Die letzte Variante wird insbesondere in der Kinematik benutzt, wenn \(f=f(t)\) als eine von der Zeit $t$ abhängige Funktion aufgefasst wird und $\dot{f}$ dann als Geschwindigkeit interpretiert werden kann.
Achtung! Diese Definition der Differenzierbarkeit wird sich im nächsten Semester nicht einfach auf Funktionen übertragen lassen, die von mehreren Variablen \(x_1,x_2,\ldots , x_n\) abhängen, weil man durch Vektoren nicht teilen kann.
Dort wird eine andere Betrachtungsweise hilfreich sein: Die Gerade mit der Steigung \(f’( x_0)\) durch den Punkt \((x_0,f(x_0))\) ist die bestmögliche lineare Approximation an die Funktion \(f\) in der Nähe des Punktes \(x_0\).
- Die Funktion \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) mit \(f( x)=x^2\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit Ableitung \(f’( x_0)=2x_0\), denn für den Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0\) gilt
\(\begin{array}{rcl}\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}&=&\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}\\&=&\lim\limits_{h\to 0}\left(2x_0+h\right)=2x_0\end{array}\)
- Etwas allgemeiner zeigt man auf ähnliche Weise: Die Funktion \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) mit \(f( x)=x^n\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit Ableitung \(f’( x_0)=nx_0^{n-1}\), denn mit Hilfe des Binomischen Satzes erhält man für den Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0\)
\(\begin{array}{rcl}\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{(x_0+h)^n-x_0^n}{h}&=&\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{{n\choose 0}x_0^n+{n\choose1}x_0^{n-1}h+{n\choose2}x_0^{n-2}h^2+\ldots{n\choose n}h^n-x_0^n}{h}\\&=&\lim\limits_{h\to 0}\left(nx_0^{n-1}+{n\choose2}x_0^{n-2}h+\ldots{n\choose n}h^{n-1}\right)=nx_0^{n-1}.\end{array}\)
- Die Betragsfunktion \(b( x)=|x|\) ist nicht differenzierbar in \(x_0=0\), denn
\(\displaystyle \frac{|h|-|0|}{h}=\displaystyle \frac{|h|}{h}=\left\{\begin{array}{ll}+1&\;\;\;\text{ für }h>0\\-1&\;\;\;\text{ für }h<0\end{array}\right.\)
Der Grenzwert für \(h\to 0\) existiert daher nicht.
-
Die Exponentialfunktion ist differenzierbar in \(x_0=0\), denn
\(\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-e^0}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=1\),
was man mit Hilfe der Exponentialreihe sieht:
\(\begin{array}{rcl}\left|\displaystyle \frac{e^h-1}{h}-1\right|&=&\left|\displaystyle \frac{1+h+\displaystyle \frac{h^2}{2!}+\displaystyle \frac{h^3}{3!}+\dots-1}{h}-1\right|\\&=&\left|\displaystyle \frac{h}{2!}+\displaystyle \frac{h^2}{3!}+\displaystyle \frac{h^3}{4!}+\dots\right|\\&\leq&|h|\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{1}{3!}+\displaystyle \frac{1}{4!}+\dots\right)=|h|\cdot(e-2)\end{array}\)
falls \(|h|<1\) ist. Da die rechte Seite für \(h\to 0\) gegen \(0\) strebt, muss auch die linke Seite gegen \(0\) konvergieren.
In einem beliebigen \(x_0\in \mathbb {R}\) ist die Ableitung dann
\(\lim\limits_{h\to 0}\displaystyle \frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}e^{x_0}\displaystyle \frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}.\)
Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft, die stärker als Stetigkeit ist:
Begründung: Um nachzuprüfen, dass \(f\) an der Stelle \(x_0\) stetig ist, betrachten wir eine Folge \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\), die gegen \(x_0\) konvergiert. Wir müssen dann zeigen, dass \(f( x_n)\) gegen \(f( x_0)\) konvergiert.
Weil \(f\) in \(\)x_0\(\) differenzierbar ist, kennen wir den Grenzwert
\(\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=f’(x_0).\)
Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhält man damit dann
\(\lim\limits_{n\to\infty}(f(x_n)-f(x_0))=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\displaystyle \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}}_{\to f'(x_0)}\cdot\underbrace{(x_n-x_0)}_{\to 0}=f’(x_0)\cdot0=0.\)
Also ist \(\lim \limits _{n\to \infty }f( x_ n)=f( x_0)\) und \(f\) ist stetig in \(x_0\).
\( \diamondsuit \)