11.2 Umkehrfunktionen und Wurzeln
11.2 Umkehrfunktionen und Wurzeln
Sei \(f\colon [a,b]\to \mathbb {R}\) eine Funktion, die auf dem Intervall \([a,b]\) definiert ist.
Dann wird jedem \(x\in [a,b]\) ein eindeutiges \(y=f( x)\) zugeordnet. Oft möchte man aber zu dem Funktionswert \(y\) das entsprechende \(x\) finden. Dabei hilft die Umkehrfunktion oder inverse Funktion von \(f\).
Dann heiĂt \(f\) invertierbar (oder umkehrbar), falls jedem \(y\in W\) genau ein \(x\in D\) entspricht mit \(f(x)=y\). Die Abbildung \(f^{-1}:W\to~D\), die jedem \(y\in W\) dieses \(x\) zuordnet heiĂt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von \(f\).
Bei einer linearen Funktion \(f(x)=mx+b\) kann man die Umkehrfunktion durch "Auflösen nach \(x\)" direkt berechnen:
\(x=\displaystyle \frac{y-b}{m}=\frac{1}{m}y-\frac{b}{m}=f^{-1}( y)\)
In diesem Fall ist \(f^{-1}\) nun eine von der Variablen \(y\) abhĂ€ngige Funktion. Allerdings ist es in der Mathematik oft ĂŒblich, die unabhĂ€ngige Variable mit \(x\) zu bezeichnen und so werden an dieser Stelle meist die Variablen getauscht bzw. umbenannt und man schreibt
\(f^{-1}(x)=\frac{1}{m}x-\frac{b}{m}.\)
Insbesondere ist die Umkehrfunktion einer linearen Funktion wieder eine lineare Funktion.
Dies ist auch geometrisch sehr schön einzusehen, wenn man berĂŒcksichtigt, dass das Schaubild der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) aus dem Schaubild von \(f\) durch Spiegelung an der Diagonalen hervorgeht.
Zur BegrĂŒndung betrachten wir irgendein \(x_0\) und setzen \(y_0=f(x_0)\). Dann liegt der Punkt \((x_0,y_0)\) auf dem Schaubild von \(f\). Dieser Punkt geht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(x=y\) in den Punkt \((y_0,x_0)\) ĂŒber. Andererseits ist \(x_0=f^{-1}(y_0)\), falls \(f\) eine invertierbare Funktion ist, d.h. \(x_0\) ist der Funktionswert von \(f^{-1}\) an der Stelle \(y_0\) und \((y_0,x_0)\) liegt damit auf dem Schaubild von \(f^{-1}\).
n-te Wurzeln
Zu einer natĂŒrlichen Zahl \(n\in \mathbb{N}\) betrachten wir die Potenzfunktion \(f(x)=x^ n\). Diese ist nicht unbedingt eine monotone Funktion, daher unterscheiden wir zwei FĂ€lle:
1.Fall: \(n\) ist ungerade
In diesem Fall ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) eine streng monoton wachsende Funktion und es gilt \(\lim \limits_{x\to -\infty }f(x)=-\infty \) und \(\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=+\infty \), der Wertebereich von \(f\) ist also ganz \(\mathbb{R}\). Daher besitzt \(f\) eine auf ganz \(\mathbb {R}\) definierte Umkehrfunktion \(f^{-1}\).
2.Fall: \(n\) ist gerade
In diesem Fall ist \(f(-x)=f(x)\) und \(f\) ist nur auf \((-\infty ,0]\) bzw. auf \([0,\infty )\) streng monoton. Wenn wir \(f\) nur noch mit dem Definitionsbereich \([0,\infty )\) betrachten, ist der Wertebereich ebenfalls \([0,\infty )\) und es gibt zu jedem \(y\geq 0\) genau ein \(x\in [0,\infty )\) mit \(x^ n=y\). Dieses \(x\) ist die n-te Wurzel von \(y\), geschrieben \(x=\sqrt [n]{y}\). Die Umkehrfunktion von \(f\) ist also \(f^{-1}:[0,\infty )\to [0,\infty )\) mit \(f^{-1}(x)=\sqrt [n]{x}\).