Um Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren zu definieren, benutzt man eine Abbildung, die jeweils zwei Vektoren eine Zahl (einen Skalar ) zuordnet.

Definition (Skalarprodukt):

Für zwei Vektoren \(\vec{x}=\left(\begin{array}{r} x_1\\ \vdots \\ x_ n\end{array}\right) \;\;\textsf{ und } \;\;\vec{y}=\left(\begin{array}{r} y_1\\ \vdots \\ y_ n\end{array}\right)\) im \(\mathbb {R}^n\) ist das Skalarprodukt definiert durch

\(\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n=\sum\limits_{j=1}^nx_jy_j.\)

Beispiel:

\(\left(\!\begin{array}{r} 2 \\-3\\1\end{array}\!\right)\cdot\left(\!\begin{array}{r} 2 \\5\\0\end{array}\!\right)=-11\)

Mit dem folgenden Geogebra-Applet können Sie ausprobieren, wie sich das Skalarprodukt \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) ändert, wenn man die Vektoren verändert. Sie können auch herausfinden, wann man als Skalarprodukt 0, 1, oder -5 erhält, wenn man \(\vec{v}\) festhält und nur \(\vec{w}\) variiert.

Aus der Definition ergeben sich für das Skalarprodukt die folgenden Rechenregeln.

  • \(\vec{x}\cdot \vec{y}=\vec{y}\cdot \vec{x}\;\;\;\) (Kommutativität)
  • \(\alpha (\vec{x}\cdot \vec{y})=(\alpha \vec{x})\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot (\alpha \vec{y})\)
  • \(\vec{x}\cdot (\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot \vec{y}+\vec{x}\cdot \vec{z}\;\;\;\hspace{2em}\) (Distributivgesetz)

Zuletzt geändert: Mittwoch, 23. Januar 2019, 16:13