1.6 Funktionen
1.6 Funktionen
Funktionen bzw. Abbildungen sind ein grundlegendes Hilfsmittel zur mathematischen Beschreibung der ZusammenhĂ€nge zwischen verschiedenen GröĂen.
Beispiel 1: Ohmsches Gesetz
In einem elektrischen Stromkreis mit einem Widerstand \(R\) hÀngt die StromstÀrke I von der angelegten Spannung U ab. Es gilt der Zusammenhang
\(I(U)=\displaystyle\frac{U}{R}\).
Jedem Wert von \(U\) lÀsst sich so eine eindeutige StromstÀrke \(I\) zuordnen.
Diesen Zusammenhang kann man auch graphisch veranschaulichen durch das folgende Strom-Spannungs-Diagramm:
Tendenziell kann man sagen, dass man eher Funktion sagt, wenn \(M\) und \(N\) Mengen von Zahlen sind, wÀhrend man sonst eher von Abbildungen spricht, einen echten Unterschied zwischen den beiden Begriffen gibt es aber nicht.
Wenn man eine Funktion \(f\) beschreiben möchte, gibt man meist an, was \(f\) mit den Elementen von \(M\) macht, d.h. man definiert \(f(x)\) fĂŒr ein beliebiges \(x\in M\) durch eine Formel oder einen anderen Ausdruck. Oft schreibt man \(y=f(x)\), um \(f\) festzulegen, insbesondere wenn \(f:\mathbb{R}\to \mathbb {R}\) eine Funktion ist, die jeder Zahl \(x\) eine andere Zahl \(y\) zuordnet. Achtung! Dies ist ein wenig irrefĂŒhrend, denn in der Mathematik sind die Abbildung \(f\) und das Bild \(f(x)\) von \(x\) unter der Abbildung \(f\) zwei verschiedene Dinge.
Beispiele fĂŒr Abbildungen sind die Zuordnungen
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Matrikelnummer |
\(\longrightarrow \) |
Student/in |
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Zahl \(n\) |
\(\longrightarrow \) |
Zahl \(n^2-1\) |
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Datum |
\(\longrightarrow \) |
Wochentag |
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Spannung im Draht |
\(\longrightarrow \) |
StromstÀrke im Draht |
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positive reelle Zahl \(x\) |
\(\longrightarrow \) |
reelle Zahl \(\sqrt {x}\) |
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KantenlĂ€nge eines WĂŒrfels |
\(\longrightarrow \) |
Volumen eines WĂŒrfels |
Wozu sind Funktionen nĂŒtzlich?
Als kompakte Methode, um die AbhĂ€ngigkeit einer GröĂe von einer (oder mehreren) anderen GröĂen auszudrĂŒcken. In diesem Sinne kann man eine Funktion auch als Input-Output-Relation verstehen. Man fĂŒttert einen "Input" \(x\) in einen Apparat, der einem dann auf irgendeine Weise daraus einen Output \(f(x)\) produziert. Der Definitionsbereich ist dann die Menge aller "sinnvollen" oder "vernĂŒnftigen" Inputs, wĂ€hrend die das Bild von \(f\) die Menge aller möglichen Outputs darstellt.
Beispiel 2: Koordinatensystem
Jedem Punkt des dreidimensionalen (euklidischen) Raumes ordnet man ein Tripel \((x,y,z)\in \mathbb{R}^3\) zu, seine Koordinaten.
Umgekehrt entspricht jedem Koordinatentripel genau ein Punkt.
Beispiel 3: Börsenkurse
FĂŒr die Aktie der Rubotectrics AG wird im elektronischen Handel zu jedem Zeitpunkt \(t\) eines Handelstages der entsprechende Kurs \(K\) festgestellt. Das Schaubild der Funktion \(t\mapsto K(t)\) bezeichnen Börsianer als Chart und viele Versuchen mit List und TĂŒcke aus diesen Charts Informationen ĂŒber den zukĂŒnftigen Kursverlauf herauszulesen ("âChartanalyse"â).
