Sei \((a_ n)_{n\in \mathbb {N}}\) eine Folge.
Falls für jede (noch so große) Zahl \(C>0\) ein Index \(N\in \mathbb {N}\) existiert, so dass

\(a_n>C\;\) für alle \(\;n>N\)

dann sagt man, die Folge konvergiert uneigentlich gegen \(+\infty\) .
In (etwas missbräuchlicher) Notation schreibt man dann \(\lim \limits _{n\to \infty } x_ n = +\infty \), obwohl die Folge streng genommen keinen Grenzwert besitzt.

Analog nennt man \((a_ n)_{n\in \mathbb {N}}\) uneigentlich konvergent gegen \(-\infty \), falls für jede Zahl \(C>0\) ein Index \(N\in \mathbb {N}\)\( existiert, so dass

\(a_n<-C\) für alle \(n>N\).

1. Es ist \(\lim \limits _{n\to \infty }n!=+\infty \).
   
   
2. Für jedes \(x>1\) ist \(\lim \limits _{n\to \infty }x^ n=+\infty\).
   
   
3. Für jedes \(x>1\) und jede gerade Zahl \(k=2m\) ist \(\lim \limits _{k\to -\infty }x^k=+\infty \).
   
   
4. Es ist \(\lim \limits _{n\to \infty }\sqrt {n}=+\infty \).

\(\infty+c=\infty,\;\;\;\;\infty+\infty=\infty,\;\;\;\; \infty\cdot\infty=\infty\;\;\text{ und }\;\;\infty\cdot(-\infty)=-\infty \)

\(\infty+(-\infty),\;\;\;\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\;\;\text{ oder }\;\; 0\cdot\infty.\)

• Falls der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, dann strebt die rationale Funktion für \(x\to \infty \) (und auch für \(x\to -\infty \)) gegen \(0\).

• Falls der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, dann strebt die rationale Funktion für (x\to \infty \) gegen \( +\infty \) oder \(-\infty \). Es existiert also kein Grenzwert.

• Falls der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, dann konvergiert die rationale Funktion für \(x\to \infty \) (und auch für \(x\to -\infty \)) gegen das Verhältnis der führenden Koeffizienten.