6.4 Die Cramersche Regel
6.4 Die Cramersche Regel
Auch die Inverse einer Matrix kann man mit Hilfe von Determinanten ausdrĂŒcken. Dazu benötigen wir noch eine Definition.
\(\tilde{a}_{ki}=\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{i-1},\vec{e}_k,\vec{a}_{i+1},\vec{a}_n)\)
die Adjunkte von \(A\) oder auch die zu \(A\) komplementÀre Matrix.\(A\cdot A^\sharp=A^\sharp\cdot A=\det(A)\cdot E_n\)
Insbesondere ist im Fall \(\det A\neq 0\) die Inverse von \(A\)\(A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}A^\sharp\)
Diese Methode, die inverse Matrix zu berechnen, erfreut sich in Klausuren nicht geringer Beliebtheit. Die GrĂŒnde dafĂŒr liegen auf der Hand: Es sind nur Determinanten zu berechnen und dafĂŒr gibt es ein klares Rechenschema. Wenn die Koeffizienten der Matrix alle ganzzahlig sind, dann sind auch die Determinante ganzzahlig und BrĂŒche treten erst am Ende der Rechnung auf. Rechenfehler Ă€ndern meist nur einen Eintrag (falls man nicht gerade \(\det (A)\) falsch berechnet hat...).
Dennoch ist dabei etwas Vorsicht geboten. Der Aufwand wird ab \(4\times 4\)-Matrizen deutlich gröĂer als beim GauĂschen Eliminationsverfahren, so dass man in diesem Fall mit der Cramerschen Regel nur noch konkurrenzfĂ€hig ist, wenn die Matrix sehr viele Nullen enthĂ€lt.
Mit Hilfe von Determinanten kann man auch die Lösungen von Gleichungssystem \(Ax=b\) fĂŒr quadratische Matrizen \(A\) bestimmen. Dieses Verfahren wird erfahrungsgemÀà von Studierenden in Klausuren hĂ€ufig angewandt, da es sehr schematisch durchfĂŒhrbar ist. Der Aufwand ist allerdings in aller Regel höher als beim GauĂschen Eliminationsverfahren. AuĂerdem liefert das GauĂ-Verfahren auch fĂŒr nicht-quadratische Matrizen \(A\) alle Lösungen.
\(x_j=\displaystyle\frac{\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{b},\vec{a}_{j+1},\ldots,\vec{a}_n)}{\det(A)}.\)
Beweis: Hier können wir noch einmal die Adjunkte und insbesondere den Satz ĂŒber die Adjunkte ausnutzen. Wenn \(A\) invertierbar ist, dann ist \(A^{-1}=\displaystyle\frac {1}{\det (A)} A^\sharp \), wobei \(A^\sharp =(\tilde{a}_{ij})\) mit
\(\tilde{a}_{jk}=\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{e}_k,\vec{a}_{j+1},\vec{a}_n).\)
Man beachte den Unterschied zur ursprĂŒnglichen Definition, da die Vektoren \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\ldots ,\vec{a}_ n\) diesmal die Spaltenvektoren von \(A\) sind.
Die \(j\)-te Komponente von \(x=A^{-1}b=\displaystyle\frac {1}{\det (A)}A^\sharp b\) ist dann
\(\begin{array}{rcl}x_j&=&\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\sum\limits_{k=1}^n\tilde{a}_{jk}b_k\\&=&\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\sum_{k=1}^n\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{e}_k,\vec{a}_{j+1},\vec{a}_n)b_k\\&=&\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\sum_{k=1}^nb_k\vec{e}_k,\vec{a}_{j+1},\vec{a}_n)\\&=&\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\det(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_{j-1},\vec{b},\vec{a}_{j+1},\vec{a}_n).\end{array}\)
\(\Box\)
\(\begin{array}{rcl}3x_1-2x_2+2x_3&=&10\\4x_1+2x_2-3x_3&=&1\\2x_1-3x_2+2x_3&=&7\end{array}\)
ist\(x_1=\displaystyle\frac{\left|\!\begin{array}{rrr}10&-2&2\\1&2&-3\\7&-3&2\end{array}\!\right|}{\left|\!\begin{array}{rrr}3&-2&2\\4&2&-3\\2&-3&2\end{array}\!\right|}=\displaystyle\frac{-38}{-19}=2\) und \(x_2=\displaystyle\frac{\left|\!\begin{array}{rrr}3&10&2\\4&1&-3\\2&7&2\end{array}\!\right|}{\left|\!\begin{array}{rrr}3&-2&2\\4&2&-3\\2&-3&2\end{array}\!\right|}=\displaystyle\frac{-19}{-19}=1,\)
\(x_3\) lÀsst sich dann durch Einsetzen in die erste Gleichung bestimmen als \(x_3=3\).Am Ende des Kapitels haben Sie mal wieder die Wahl: