6.2 Determinanten von (n x n)-Matrizen
6.2 Determinanten von \(n\times n\)-Matrizen
Auch für \(n\times n\)-Matrizen mit \(n>3\) kann man eine Determinante definieren, die ähnliche Eigenschaften besitzt wie im Fall der \(2\times 2\)- und \(3\times 3\)-Matrizen.
Ihre Berechnung wird allerdings zunehmend komplizierter.
Mit Hilfe dieser Definition kann man nun die Berechnung von \(n\times n\)-Determinanten auf die Berechnung von \((n-1)\times (n-1)\)-Determinanten zurückführen. Auf diese Weise kann man sich hinunterhangeln, bis man nur noch \(3\times 3\)-Determinanten auswerten muss.
\(\det(A)=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{j+k}a_{jk}\det S_{jk}(A)\) ("Entwicklung nach der j-ten Zeile")
und für beliebiges \(k\in \{ 1,2,\ldots ,n\} \)\(\det(A)=\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{j+k}a_{jk}\det S_{jk}(A)\) ("Entwicklung nach der k-ten Spalte")
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Es ist nicht schwer nachzuprüfen, dass diese Definition mit unserer bisherigen Festlegung harmoniert. Für \(n=3\) ergibt sich also beim Entwickeln nach Zeilen oder Spalten genau dasselbe Resultat wie bei der Anwendung der Sarrus-Regel.
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Man kann Determinanten auch auf eine andere Weise definieren und erhält die hier als Definition angegebene Berechnungsmethode dann als Konsequenz. Daher heißt das Entwickeln nach Zeilen oder Spalten häufig auch Laplacescher Entwicklungssatz.
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Das wechselnde Vorzeichen, mit dem die Determinanten der Streichungsmatrizen versehen werden, kann man sich mit folgendem "‘Schachbrett"’-Schema gut merken:
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Die Determinanten der Streichungsmatrizen nennt man auch Unterdeterminanten von \(A\).