6.1 Determinanten von 2x2- und 3x3-Matrizen
Obwohl wir ja schon beliebig große lineare Gleichungssysteme lösen können, betrachten wir noch einmal ein System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten und überlegen diesmal, unter welchen Bedingungen an die Koeffizienten ein solches Gleichungssystem überhaupt eine eindeutige Lösung hat:
\(\begin{array}{rcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2&=&b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2&=&b_2\end{array}\)
Wir können die obere Zeile mit a22 und die untere mit a12 multiplizieren und dann voneinander abziehen und erhalten
\(x_1=\displaystyle\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\)
falls \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0\) ist. Auf dieselbe Weise erhält man
\(x_2=\displaystyle\frac{b_2a_{11}-b_2a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}.\)
Insbesondere ist das lineare Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar, wenn der Ausdruck a11 a22- a12 a21 von Null verschieden ist. Man bezeichnet diesen Ausdruck als die Determinante der Matrix.
\(\det(A)=\left|\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
die Determinante von A.Mit Hilfe von Determinanten kann man die Lösung des Gleichungssystems
\(\begin{array}{rcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2&=&b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2&=&b_2\end{array}\)
darstellen. Was wir oben berechnet haben, lässt sich nämlich in der Form
\(x_1=\displaystyle\frac{\left|\begin{array}{rr}b_1&a_{12}\\ b_2&a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right|},\;\;\;\;\;x_2=\displaystyle\frac{\left|\begin{array}{rr}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right|}\)
schreiben. Dies ist die einfachste Version der Cramerschen Regel, die wir später noch in allgemeinerer Form besprechen werden.
\(\begin{array}{rcl}\det(A)&=&\left|\begin{array}{rrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\&&\\&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{array}\)
die Determinante von A.
Man kann sich die Berechnung der Determinante einer (3 x 3)-Matrix durch das folgende Schema (Sarrusregel ) recht gut merken:
Man schreibt zunächst die ersten beiden Spalten der Matrix rechts noch einmal auf und multipliziert dann immer die drei Koeffizienten, die entlang der Pfeile liegen, miteinander. Die drei Produkte in "Südost"-Richtung (grün) werden positiv gezählt, die drei Produkte in "Südwest"-Richtung (rot) negativ.
\(\begin{array}{rcl}&&\left|\begin{array}{rrr} 3&-1&2\\ 2&1&-1\\ 1&-2&5\end{array}\right|\\&=& 3\cdot 1\cdot 5+(-1)\cdot(-1)\cdot 1+2\cdot 2\cdot (-2)-3\cdot(-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot 2\cdot 5-2\cdot 1\cdot 1\\&=& 15\hspace{3.1em}+\hspace{1.1em}1\hspace{3.1em}-\hspace{1.1em}8\hspace{3.1em}-\hspace{1.1em}6\hspace{3.1em}+\hspace{1.1em}10\hspace{3.1em}-\hspace{1.1em}2\\&=&10\end{array}\)
Man kann die Determinante jedoch auf eine weitere Art schreiben, die sich dann auf größere Matrizen verallgemeinern lässt.
\(\det(A)=\left|\begin{array}{rrr}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32}&a_{33}\end{array}\right| =a_{11} \left|\begin{array}{rr}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right| -a_{12}\left|\begin{array}{rr}a_{21} & a _{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right| +a_{13}\left|\begin{array}{rr}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{array} \right|\)