1.6c Funktionen (Fortsetzung)

1.6 Funktionen (Fortsetzung)

Verkettung von Funktionen

Oft wendet man mehrere Funktionen nacheinander an. Wenn man zuerst die Funktion \(f\) und dann die Funktion \(g\) anwendet, also \( g(f(x)) \) bestimmt, dann schreibt man dafür

\( (g \circ f)(x) \)

Für manche Studierende ist diese Notation etwas gewöhnungsbedürftig, da die Funktionen hier von rechts nach links in Aktion treten, aber vielleicht hilft es etwas, wenn man sich die Sprechweise "g nach f" angewöhnt.

Mit Hilfe eines kleinen Bildchens kann man auch eine andere typische Fehlerquelle einsehen: Wenn \(f\) und \(g\) beide bijektive Funktionen sind mit Umkehrfunktionen \( f^{-1}\) und \(g^{-1}\), dann ist auch \( g\circ f\) eine invertierbare Funktion mit

\( (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.\)

Während man bei \( g\circ f\) zuerst \(f\) und dann \(g\) anwendet, muss man auf dem "‘Rückweg"’ zuerst \( g^{-1} \) und dann erst \( f^{-1} \) benutzen.

Reelle Funktionen

Die Abbildungen, mit denen wir am meisten zu tun haben werden, sind reelle Funktionen, also Abbildungen \(f: D \to \mathbb{R} \), wobei der Definitionsbereich \( D\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\) ist (oft ganz \(\mathbb {R} \).

Der Graph (oder das Schaubild)\(G_f\) der reellen Funktion \( f \) ist die Menge

\( G_f:=\{(x,f( x));\;x\in D\}\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R} \,.\)

Typischerweise interessiert man sich für die minimale Periode \( p > 0\), die eine Funktion gegebenenfalls besitzt.

Die wichtigsten Beispiel für periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus, die wir in einem späteren Kapitel ausführlich behandeln.