1.2b Zahlen (Fortsetzung)

1.2 Zahlen (Fortsetzung)

Hier eine kleine Testaufgabe zum Berechnen von Beträgen:

Für das Rechnen mit Beträgen gelten folgende Regeln.

Begründung: Die Regeln (i)-(v) verifiziert man, indem man alle Möglichkeiten \(a \geq 0\), \(a< 0\), \(b\geq 0\) und \(b< 0\) durchspielt und den Betrag jeweils durch den passenden Ausdruck \(a\), \(-a\), \(b\) oder \(-b\) ersetzt.

So ist beispielsweise für (iii) im Fall \(a\geq 0\) zunächst \(|a|=a\) und damit \(-a=-|a|\leq a=|a|\), während im Fall \(a<0\) der Betrag \(|a|=-a>0\) ist und daher gilt: \(-|a|=a\leq -a=|a|\). 

Um die Dreiecksungleichung (vi) nachzuweisen, stellen wir erst einmal fest, dass dort auf beiden Seiten nicht-negative Zahlen stehen. Aus diesem Grund ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung.

Beachtet man noch, dass \(|a+b|^2=(a+b)^2\) ist, dann erhält man

\(\begin{array}{rcl}\left|a+b\right|&\leq&\left|a\right|+\left|b\right|\\&&\\\Leftrightarrow\left|a+b\right|^2&\leq&\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\\&&\\\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2&\leq&a^2+2\left|ab\right|+b^2\\&&\\\Leftrightarrow 2ab&\leq&2\left|ab\right|\end{array}\)

Da die letzte Ungleichung offenbar immer richtig ist, ist die Dreiecksungleichung auch wahr.

Für die "umgekehrte Dreiecksungleichung" (vii) benutzt man die normale Dreiecksungleichung auf geschickte Weise: Es ist

\(\begin{array}{rcl}|a|=\left|a-b+b\right|&\leq&\left|a-b\right|+\left|b\right|\\\Leftrightarrow|a|-|b|&\leq&|a-b|\;\; \text{und} \;\; \\|b|=\left|b-a+a\right|&\leq&\left|b-a\right|+\left|a\right|\\ \Leftrightarrow|b|-|a|&\leq&|b-a|=|a-b|\end{array}\)

Insgesamt ist dann

\(-|a-b| ≤ |a| - |b| ≤ |a-b|\)

woraus die Ungleichung (vii) folgt.

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