Mit Hilfe der Logarithmusfunktion lassen sich auch die "normalen" Potenzfunktionen für alle Exponenten \(x\in \mathbb {R}\) darstellen bzw. definieren.

 

Definition (Allgemeine Exponentialfunktion):
Für eine beliebige positive reelle Zahl \(a>0\) setzen wir dazu

\(a^x:=e^{\ln(a)\cdot\,x}.\)


Auf diese Weise erhalten wir für \(x\in \mathbb {N}\) unsere bereits bekannten Potenzen von \(a\) wieder, denn es ist

  • \(\;\;\;\displaystyle a^0= e^{\ln ( a)\cdot 0}=e^0 =1\)

  • \(\;\;\;\displaystyle a^1= e^{\ln ( a)\cdot 1}= e^{\ln ( a)} = a\)

  • \(\;\;\;\displaystyle a^2= e^{\ln ( a)\cdot 2}= e^{\ln ( a)+\ln ( a)}= e^{\ln ( a)}\cdot e^{\ln ( a)} = a\cdot a\) und so weiter

Allerdings kann man jetzt auch beliebige reelle Exponenten \(x\) einsetzen (und wer möchte, sogar komplexe Exponenten...)

Wir zeigen noch, dass tatsächlich alle Potenzgesetze auch mit dieser Definition gültig sind.

Satz (Potenzgesetze):
Sei \(a >0\). Dann gilt:

  • \(\;\;\;\displaystyle a^{x+y} = a^ x\,\cdot\,a^ y\;\;\) für alle \(x,y\in \mathbb {R}\).

  • \(\;\;\;\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^ x}\;\;\) für alle \(x\in \mathbb {R}\).

  • \(\;\;\;\displaystyle a^{nx} = \left(a^ x\right)^ n\;\;\) für alle \(n\in \mathbb {Z}\) und alle \(x\in \mathbb {R}\).

  • \(\;\;\;\displaystyle a^{\left(\frac{p}{q}\right)} = \sqrt [q]{a^ p}\;\;\) für alle \(p\in \mathbb {Z}\) und alle \(q\in \mathbb {N}\).

  

 

Bemerkung:
Die Definition \(\displaystyle a^x = e^{\ln (a) x}\) erscheint vielleicht zunächst unnötig kompliziert. Wenn man aber die Funktion \(f( x) = a^x\) später ableiten möchte (oder muss), führt an dieser Form fast kein Weg vorbei!

  

Auch die allgemeinen Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x\) mit beliebigem \(a>0\) und \(a\neq 1\) sind monoton.

   

Satz (Monotonie der allgemeinen Exponentialfunktion):
Die allgemeine Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) ist für \(a>1\) streng monoton wachsend und für \(0<a<1\) streng monoton fallend.

Beweis: Wir betrachten für zwei beliebige Zahlen \(x_1<x_2\).

Falls \(a>1\) ist, dann ist \(\ln( a)>0\), also \(\ln ( a)x_2>\ln ( a)x_1\) und wegen der Monotonie der e-Funktion ergibt sich daraus \(a^{x_2}>a^{x_1}\).

Umgekehrt ist für \(0<a<1\) immer \(\ln( a)<0\), also \(\ln(a)x_2<\ln(a)x_1\) und wieder wegen der Monotonie der Exponentialfunktion liefert dies \(a^{x_2}<a^{x_1}\).

☐

Definition (allgemeine Logarithmusfunktion):

Die Umkehrfunktion der monoton wachsenden Funktion \(f( x)=a^ x\) ist der Logarithmus zur Basis \(a\), d.h. \(\log_a( x)=y\;\;\Longleftrightarrow\;\;a^y=x\).

  

   

Satz :

Für alle \(x>0\) gilt \(\log_a( x)=\displaystyle\frac{\ln( x)}{\ln(a)}.\)

Begründung: Wir rechnen direkt nach, dass \(\displaystyle\frac {\ln (x)}{\ln (a)}\) die Umkehrfunktion von \(a^x\) ist. Einerseits ist

\( \displaystyle\frac{\ln(a^x)}{\ln(a)}=\displaystyle\frac{x\ln(a)}{\ln(a)}=x .\)

Umgekehrt ist auch \(a^{\displaystyle\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=e^{\ln(a)\displaystyle\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=e^{ \ln( x)}=x.\)

☐

Bemerkung:
In der Praxis werden neben dem natürlichen Logarithmus zur Basis \(e\) hauptsächlich Logarithmen zur Basis 2 (in der Informatik) und zur Basis 10 (Lautstärkenmessung in Dezibel, pH-Wert, Richter-Skala für Erdbeben) verwendet.

Última modificación: miércoles, 26 de febrero de 2025, 08:45