11.4 Logarithmusfunktion (Fortsetzung)
Mit Hilfe der Logarithmusfunktion lassen sich auch die "normalen" Potenzfunktionen für alle Exponenten \(x\in \mathbb {R}\) darstellen bzw. definieren.
\(a^x:=e^{\ln(a)\cdot\,x}.\)
Auf diese Weise erhalten wir für \(x\in \mathbb {N}\) unsere bereits bekannte Exponentialfunktion wieder, denn es ist
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\(\;\;\;\displaystyle a^0= e^{\ln ( a)\cdot 0}=e^0 =1\)
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\(\;\;\;\displaystyle a^1= e^{\ln ( a)\cdot 1}= e^{\ln ( a)} = a\)
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\(\;\;\;\displaystyle a^2= e^{\ln ( a)\cdot 2}= e^{\ln ( a)+\ln ( a)}= e^{\ln ( a)}\cdot e^{\ln ( a)} = a^2\) und so weiter
Allerdings kann man jetzt auch beliebige reelle Exponenten \(x\) einsetzen (und wer möchte, sogar komplexe Exponenten...)
Wir zeigen noch, dass tatsächlich alle Potenzgesetze auch mit dieser Definition gültig sind.
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\(\;\;\;\displaystyle a^{x+y} = a^ x\,\cdot\,a^ y\;\;\) für alle \(x,y\in \mathbb {R}\).
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\(\;\;\;\displaystyle a^{-x} = \frac{1}{a^ x}\;\;\) für alle \(x\in \mathbb {R}\).
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\(\;\;\;\displaystyle a^{nx} = \left(a^ x\right)^ n\;\;\) für alle \(n\in \mathbb {Z}\) und alle \(x\in \mathbb {R}\).
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\(\;\;\;\displaystyle a^{\left(\frac{p}{q}\right)} = \sqrt [q]{a^ p}\;\;\) für alle \(p\in \mathbb {Z}\) und alle \(q\in \mathbb {N}\).
Auch die allgemeinen Exponentialfunktionen \(f(x)=a^x\) mit beliebigem \(a>0\) und \(a\neq 1\) sind monoton.
Beweis: Wir betrachten für zwei beliebige Zahlen \(x_1<x_2\).
Falls \(a>1\) ist, dann ist \(\ln( a)>0\), also \(\ln ( a)x_2>\ln ( a)x_1\) und wegen der Monotonie der e-Funktion ergibt sich daraus \(a^{x_2}>a^{x_1}\).
Umgekehrt ist für \(0<a<1\) immer \(\ln( a)<0\), also \(\ln(a)x_2<\ln(a)x_1\) und wieder wegen der Monotonie der Exponentialfunktion liefert dies \(a^{x_2}<a^{x_1}\).
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Die Umkehrfunktion der monoton wachsenden Funktion \(f( x)=a^ x\) ist der Logarithmus zur Basis \(a\), d.h. \(\log_a( x)=y\;\;\Longleftrightarrow\;\;a^y=x\).
Für alle \(x>0\) gilt \(\log_a( x)=\displaystyle\frac{\ln( x)}{\ln(a)}.\)
Begründung: Wir rechnen direkt nach, dass \(\displaystyle\frac {\ln (x)}{\ln (a)}\) die Umkehrfunktion von \(a^x\) ist. Einerseits ist
\( \displaystyle\frac{\ln(a^x)}{\ln(a)}=\displaystyle\frac{x\ln(a)}{\ln(a)}=x .\)
Umgekehrt ist auch \(a^{\displaystyle\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=e^{\ln(a)\displaystyle\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=e^{ \ln( x)}=x.\)
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