Beispiel zum Gram-Schmidt-Verfahren

Beispiel zum Gram-Schmidt-Verfahren

Um aus den vier Vektoren

\(\vec{a}_1=\left(\begin{array}{r}1\\1\\0\\0\end{array}\right),\;\; \vec{a}_2=\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\0\end{array}\right),\;\; \vec{a}_3=\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\) und \(\vec{a}_4=\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\\-1\end{array}\right)\)

mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis des \(\mathbb{R}^4\) zu konstruieren, führen wir genau die Schritte durch, die bei der allgemeinen Beschreibung des Gram-Schmidt-Verfahrens aufgeführt sind:

1. Wir normieren zunächst \(\vec{a}_1\): Da \(\left|\vec{a}_1\right|=\sqrt{1+1+0+0}=\sqrt{2}\) ist, ist

   \(\vec{b}_1 =\displaystyle\frac {\vec{a}_1}{\vert\vec{a}_1\vert}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{a}_1= \left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\0\end{array}\right)\)

2. Der Anteil von \(\vec{a}_2\), der orthogonal zu \(\vec{b}_1\) ist, ist gerade

   \(\vec{c}_2=\vec{a}_2-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_2)\vec{b}_1 = \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\0\end{array}\right) - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\0\end{array}\right) -\left(\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\1\\0\end{array}\right) \)

3. Dieser Vektor muss nun normiert werden: Zunächst ist

   \(\left|\vec{c}_2 \right|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{6}{4}}= \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

   \(\Rightarrow\;\;\vec{b}_2 =\displaystyle\frac {\vec{c}_2}{|\vec{c}_2|}= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \left(\begin{array}{r}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\1\\0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\0\end{array}\right)\)

4. Man bestimmt einen dritten Vektor \(\vec{c}_3\), der auf \(\vec{b}_1\) und \(\vec{b}_2\) senkrecht steht, indem man mit Hilfe der orthogonalen Zerlegung die Anteile in Richtung von \(\vec{b}_1\) und \(\vec{b}_2\) subtrahiert:

   \(\begin{array}{rcl}\vec{c}_3& = & \vec{a}_3-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_1 -(\vec{b}_2\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_2 \\ & = & \vec{a}_3=\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\1\end{array}\right) - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\0\end{array}\right) - (-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) \cdot \left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{array}\right) \end{array}\)

   Dass der Vektor \(\vec{c}_3\) orthogonal zu \(\vec{b}_1\) und \(\vec{b}_2\) ist, kann man direkt nachrechnen.

5. Um auch diesen Vektor zu normieren, benötigt man zunächst seine Länge \(|\vec{c}_3|=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^2+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{4}{3}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\). Damit ist

   \(\vec{b}_3 =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \vec{c}_3 = \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right)\)

6. Als letztes berechnet man noch den Vektor \(\vec{c}_4\), der auf \(\vec{b}_1\), \(\vec{b}_2\) und \(\vec{b}_3\) orthogonal ist, indem man alle Anteile in Richtung von \(\vec{b}_1\), \(\vec{b}_2\) und \(\vec{b}_3\) subtrahiert:

   \(\begin{array}{rcl}\vec{c}_4 & = & \vec{a}_4 - \sum\limits_{j=1}^{3}(\vec{b}_j\cdot\vec{a}_4)\vec{b}_j \\ & = & \vec{a}_4-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_4)\vec{b}_1 -(\vec{b}_2\cdot\vec{a}_4)\vec{b}_2 -(\vec{b}_3\cdot\vec{a}_4)\vec{b}_3 \\ & = & \left(\begin{array}{r}0\\0\\1\\-1\end{array}\right) - 0\cdot\vec{b}_1 -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \left(\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\0\end{array}\right) -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right) \end{array}\)

   Auch hier könnte man wieder überprüfen, dass \(\vec{c}_4\) senkrecht steht zu \(\vec{b}_1\), \(\vec{b}_2\) und \(\vec{b}_3\). Da der Vektor \(\vec{c}_4\) bereits die Länge \(1\) hat, muss er nicht mehr normiert werden und es ist

   \(\vec{b}_4=\vec{c}_4 = \left(\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right)\) .

7. Auf diese Weise hat man eine Orthonormalbasis mit den gewünschten Eigenschaften konstruiert. Beispielsweise ist also der von den beiden Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) aufgespannte Untervektorraum derselbe, der auch von \(\vec{b}_1\) und \(\vec{b}_2\) aufgespannt wird.