9.2 Basis und Dimension (Fortsetzung)

Wie im \(\mathbb{R}^3\) spielen Basen aus Vektoren, die die Länge Eins haben und orthogonal zueinander sind, eine besondere Rolle.

Definition (Orthonormalbasis):
Man nennt n Vektoren \(\{ \vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}\) des \(\mathbb {R}^n\) eine Orthonormalbasis, falls jeweils zwei dieser Vektoren senkrecht zueinander sind und jeder der Vektoren die Länge \(1\) hat, in Formeln ausgedrückt

\(\vec{b}_j \cdot \vec{b}_k = 0\) für \(j\neq k\) und

\(|\vec{b}_1|= |\vec{b}_2| =\ldots= |\vec{b}_n| =1\).


Gram-Schmidt-Verfahren

Man kann zu jeder vorgegeben Basis eine Orthonormalbasis konstruieren, die in einem gewissen Sinne zu dieser Basis "passt". Seien dazu \(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n\) linear unabhängige Vektoren im \(\mathbb{R}^n\).

Ziel ist es nun, eine Orthonormalbasis \(\{\vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_n\}\) zu konstruieren, so dass die Vektoren \(\{\vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_k\}\) für jedes \(k\) in dem von \(\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_k\) erzeugten Untervektorraum liegen.

  1. Man bringt zunächst den ersten Vektor auf die Länge 1 ("normiere" den Vektor): \(\vec{b}_1 =\displaystyle\frac {\vec{a}_1}{\vert\vec{a}_1\vert}\)

  2. Mit Hilfe der orthogonale Zerlegung bestimmt man den Anteil von \(\vec{a}_2\), der orthogonal zu \(\vec{b}_1\) ist.

    \(\vec{c}_2=\vec{a}_2-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_2)\vec{b}_1\)

  3. Dann normiert man auch den zweiten Vektor:

    \(\vec{b}_2 =\displaystyle\frac {\vec{c}_2}{|\vec{c}_2|}\)

  4. Man bestimmt einen dritten Vektor \(\vec{c}_3\), indem man die Anteile von \(\vec{a}_3\) in Richtung von \(\vec{b}_1\) und \(\vec{b}_2\) subtrahiert:

    \(\vec{c}_3=\vec{a}_3-(\vec{b}_1\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_1 -(\vec{b}_2\cdot\vec{a}_3)\vec{b}_2 \)

  5. Man normiert auch diesen Vektor: \(\vec{b}_3 =\displaystyle\frac {\vec{c}_3}{|\vec{c}_3|}\)

  6. Allgemein berechnet man einen Vektor \(\vec{c}_k\), indem man von \(\vec{a}_k\) die Anteile in die Richtungen von \(\vec{b}_1, \dots,\vec{b}_{k-1}\) subtrahiert:

    \(\vec{c}_k=\vec{a}_k-\sum\limits_{j=1}^{k-1}(\vec{b}_j\cdot\vec{a}_k)\vec{b}_j\)

    Auf diese Weise erhält man einen Vektor, der senkrecht zu \(\vec{b}_1\), \(\vec{b}_2,\ldots,\vec{b}_{k-1}\) ist.

  7. Anschließend wird dieser Vektor normiert: \(\vec{b}_k =\displaystyle\frac {\vec{c}_k}{|\vec{c}_k|}\)

  8. Nach n Schritten hat man eine Orthonormalbasis mit den gewünschten Eigenschaften konstruiert.

Modifié le: samedi 26 janvier 2019, 00:09