10.3 Konvergenz (Fortsetzung)
Mit Hilfe der Definition kann man nun ganz streng mathematisch nachweisen, dass eine Folge konvergiert.
Die Folge \(\left( x_ n\right)_{n\in \mathbb {N}}=\left( \displaystyle\frac {1}{n} \right)_{n\in \mathbb {N}}\) konvergiert gegen \(0\), ist also eine Nullfolge. Um das ganz formal nachzuweisen, wählen wir uns eine beliebig kleine Zahl \(\varepsilon >0\). Zu diesem \(\varepsilon \) suchen wir nun eine natürliche Zahl \(N\), so dass
\(0-\varepsilon<\displaystyle\frac{1}{n}<0+\varepsilon\text{ für alle }n\geq N.\)
Da die Folgenglieder mit wachsendem n immer kleiner werden, reicht es dafür aus, dass
\(-\varepsilon<\displaystyle\frac{1}{N}<\varepsilon.\)
Die linke Ungleichung ist schon allein wegen des Vorzeichens immer erfüllt. Die rechte Ungleichung ist äquivalent zu \(N > \displaystyle\frac {1}{\varepsilon }\). Für \(\varepsilon =0,03\) muss man also \(N>33,33\) wählen, zum Beispiel \(N=34\) oder wenn man großzügig ist auch \(N=1000\). Auf die optimale Wahl kommt es hier nicht an!
Weil man prinzipiell zu jedem noch so kleinen \(\varepsilon \) einen passenden Index \(N\) ausrechnen könnte, ist die Definition von Konvergenz gegen den Grenzwert a=0 erfüllt.
- Die Definition ist theoretisch zu verstehen. Es muss nur zu jedem \(\varepsilon\) im Prinzip ein Index N existieren , so dass \(|x_ n-a|<\varepsilon \) ist, man muss dieses N nicht unbedingt explizit angeben können. Tatsächlich ist es so, dass man nur in den seltensten Fällen Konvergenz wirklich mit Hilfe der Definition nachweist. Einfachere Methoden dazu werden wir bald kennenlernen.
- Man beachte, dass die Zahl \(N=N(\varepsilon )\) in der Definition der Konvergenz natürlich vom gewählten \(\varepsilon \) abhängt. Wählt man ein kleineres \(\varepsilon \), braucht man in der Regel ein größeres \(N\), um die Bedingung aus der Definition der Konvergenz zu erfüllen.
- Es kommt in der Definition von Konvergenz nur auf Folgenglieder \(x_ n\) mit (hinreichend) großem \(n\) an. Weder das Konvergenzverhalten noch der Grenzwert ändert sich, wenn man endlich viele der Folgenglieder abändert oder weglässt.
- Die Definition der Konvergenz mag dem einen oder anderen umständlich und kompliziert erscheinen. Wir werden deshalb auch in den nächsten Kapiteln viele Wege kennenlernen, wie man verschiedene Grenzwerte ohne Benutzung der Definition berechnen kann. Dennoch sollte man diesen zentralen Begriff der Analysis zur Verfügung zu haben, um in Fällen, in denen keines der Rechenschemata passt, eine Grenzwertuntersuchung durchführen zu können.
Auch für die geometrische Folge \(1,q,q^2,q^3,q^4,q^5,\ldots\) mit \(-1<q<1\) lässt sich mit Hilfe der Definition mathematisch beweisen, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Man beachte, dass es für \(q\) nahe 1 sehr lange dauert, bis die Folgenglieder klein werden. So ist \(0,99999^{1000}\approx0,99005\). Trotzdem werden die Werte von \(0,99999^n\) beliebig klein, wenn man nur \(n\) groß genug macht
Die Zahlenfolge \(\left( z_ n\right)_{n\in \mathbb {N}}\) mit \(z_ n=q^{n}\) konvergiert für \(|q|<1\) gegen \(0\), denn:
Weil \(\displaystyle\frac {1}{|q|}>1\) ist, gibt es eine Zahl \(h>0\) mit
\(\displaystyle\frac{1}{|q|}=1+h.\)
Wendet man nun die Bernoullische Ungleichung aus Kapitel 1 an, erhält man für \(n\geq 1\) die Abschätzung\(\left(\displaystyle\frac{1}{|q|}\right)^n=(1+h)^n\geq 1+nh>nh.\)
Damit ist dann\(|q^n-0|=|q^n|=|q|^n<\displaystyle\frac{1}{nh}.\)
Genau wie im ersten Beispiel zeigt man dann, dass die Folge gegen \(0\) konvergiert, denn für ein beliebiges vorgegebenes \(\varepsilon >0\) findet man immer ein \(N\in \mathbb {N}\), so dass \(\displaystyle\frac {1}{n}< h\cdot \varepsilon \) für alle \(n\geq N\). Für diese \(n\) ist dann\(|q^n-0|<\displaystyle\frac{1}{nh}<\varepsilon.\)
Damit ist nachgewiesen, dass \(0\) der Grenzwert der Folge \((q^n)_{n\in \mathbb {N}}\) ist, wenn \(|q|<1\) ist.