Eine weitere Regel gibt es für den Fall, dass man Durchschnitte und Vereinigungen von Mengen miteinander kombiniert.

Distributivgesetze

Für drei beliebige Mengen A, B und C gilt:

\(\begin{aligned}(A\,\cap\,B)\,\cup\,C&= (A\,\cup\,C)\,\cap\,(B\,\cup\,C)\\ (A\,\cup\,B)\,\cap\,C &= (A\,\cap\,C)\,\cup\,(B\,\cap\,C)\end{aligned}\)

Auch diese Regeln kann man sich mit einer Zeichnung veranschaulichen:

Figures/distributivgesetz

Auf der linken Seite sind \(A\,\cup\,C\) blau und \(B\,\cup\,C\) grau unterlegt. Den Durchschnitt dieser beiden Mengen erkennt man an der dunkleren Färbung. Auf der rechten Seite ist C grün und \(A\,\cap \,B\) grau unterlegt. Man erkennt nun, dass die Vereinigung der grün und grau unterlegten Mengen rechts genau mit dem dunkler gefärbten Gebiet links übereinstimmt.

Anregung:
Überlegen Sie sich, wie man sich die zweite Zeile des Distributivgesetzes auf ähnliche Weise graphisch veranschaulichen kann.

Kartesisches Produkt von Mengen

Eine weitere Möglichkeit, aus schon bekannten Mengen neue Mengen zu konstruieren bietet das kartesische Produkt oder Kreuzprodukt:

Definition (Kartesisches Produkt):
Seien A und B zwei Mengen. Dann versteht man unter dem kartesischen Produkt \(A\times B\) die Menge aller geordneten Paare \((a,b)\) mit \(a\in A\) und \(b\in B\).

Solche geordneten Paare kennen Sie vermutlich von Koordinaten in der Ebene. Dort gibt die erste Zahl die "x-Koordinate" und die zweite Zahl die "y-Koordinate" an.

Bemerkung:
Achtung! Hier kommt es auf die Reihenfolge an. Das Paar (a,b) ist also nicht dasselbe wie das Paar (b,a) und beide sind wiederum etwas anderes als die Menge \(\{ a,b\} \). Aus diesem Grund sind auch die Mengen \(A\times B\) und \(B\times A\) verschieden, wenn \(A\neq B\) ist.

Statt Paaren kann man auch n Objekte betrachten, die in einer bestimmten Reihenfolge zusammengefasst werden.

Definition (n-Tupel):
Seien \(A_1\), \(A_2, \ldots A_ n\) Mengen. Dann versteht man unter \(A_1\times A_2\times \ldots \times A_ n\) die Menge aller geordneten n-Tupel \((a_1,a_2,\ldots ,a_ n)\) mit \( a_1\in A_1, a_2\in A_2,\ldots \) und \(a_n \in A_n\) d.h. für ein n-Tupel wählt man aus jeder Menge ein Element aus.

Beispiel:

Geordnete n-Tupel spielen eine wichtige Rolle im Bereich der Datenstrukturen. Datenbanken enthalten oft n Einträge in einer festen Reihenfolge, die zusammengehören, wie (Artikelnummer,Name, Preis, Lieferzeit, Frachtkosten)

oder

(Name, Vorname, Matrikelnummer, Studienfach, Fachsemester)

Hier kann zum Beispiel der dritte Eintrag "‘Matrikelnummer"’ nur aus einer bestimmten Menge der vergebenen Matrikelnummern und der vierte Eintrag nur aus der Menge aller möglichen Studienfächer stammen.
Ein Computerprogramm kann nun problemlos die Namen aller Drittsemester im Fach Umweltingenieurwesen auslesen.

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Zuletzt geändert: Mittwoch, 12. Februar 2025, 17:32