Noch einmal: Der Satz von Green


Zwischen den Integralsätzen im \(\mathbb{R}^3\) von Gauß und von Stokes und dem Integralsatz von Green im \(\mathbb{R}^2\) gibt es durchaus Zusammenhänge.

Bemerkung:


Man kann den Satz von Green aus dem Satz von Stokes herleiten, indem man ein zweidimensionales Gebiet $U$ der $x$-$y$-Ebene als zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum auffasst. Der Normalenvektor $\vec{n}$ zu \(U\) zeigt dann immer in \(z\)-Richtung. Man setzt nun das Vektorfeld so einfach wie möglich ins Dreidimensionale fort, indem man \(F_1 (x,y,z) = f(x,y)\), \(F_2 (x,y,z) = g(x,y)\) und \)F_3(x,y,z)=0\) wählt.


Da bei dieser Wahl von $\vec{F}$ die Rotation von $\vec{F}$


\(\mathrm{rot}\,\vec{F}=
\left(\begin{array}{c}
-\displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial z}\\
\displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial z}\\
\displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y}
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ \displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\)


ebenfalls in Richtung der \(z\)-Achse zeigt, ist


\(\mathrm{rot}\,\vec{F}\cdot \vec{n}=\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\)


gerade der Integrand, der im Satz von Green auftritt.