Eigenschaften

Satz:
Ist $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ eine offene Menge und sind $f:\Omega \to \mathbb{R}$ sowie $\vec{v}\colon \Omega \to \mathbb{R}^3$ zweimal stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt

  • $\mathrm{rot} \,\mathrm{grad}\, f=0$ und

  • $\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\,\vec{v}=0$.

Begründung: direktes Nachrechnen ❑

Die Umkehrung der ersten Aussage kennen wir schon aus Kapitel 21. Sie gilt nicht für beliebige Mengen $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, aber beispielsweise für Vektorfelder, die auf dem gesamten $\mathbb{R}^3$ definiert sind.

Satz:
Ein Vektorfeld $\vec{V}\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ist genau dann wirbelfrei, wenn es sich als Gradient eines Skalarfeldes darstellen läßt:

$\mathrm{rot}\vec{V}=0\quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}=\mathrm{grad}\,\vec{F}.$

$F$ heißt Potential (und ist bis auf einem Konstanten eindeutig bestimmt).

Auch die zweite Aussage besitzt eine Umkehrung, die beispielsweise benutzt wird, um für das magnetische Feld ein Potential anzugeben.

Satz (Vektorpotential):
Ein Vektorfeld $\vec V\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ist genau dann quellenfrei, wenn es sich als die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{W}$ darstellen läßt:

$\mathrm{div}\,\vec{V}=0\quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}=\mathrm{rot}\,\vec{W}$

Das Vektorfeld $\vec{W}$ heißt Vektorpotential und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion eindeutig bestimmt.

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