24.2 Vektoranalysis
Abschlussbedingungen
Eigenschaften
Satz:
Ist $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ eine offene Menge und sind $f:\Omega \to \mathbb{R}$ sowie $\vec{v}\colon \Omega \to \mathbb{R}^3$ zweimal stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt
Begründung: direktes Nachrechnen ❑
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$\mathrm{rot} \,\mathrm{grad}\, f=0$ und
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$\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\,\vec{v}=0$.
Die Umkehrung der ersten Aussage kennen wir schon aus Kapitel 21. Sie gilt nicht für beliebige Mengen $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, aber beispielsweise für Vektorfelder, die auf dem gesamten $\mathbb{R}^3$ definiert sind.
Satz:
Ein Vektorfeld $\vec{V}\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ist genau dann wirbelfrei, wenn es sich als Gradient eines Skalarfeldes darstellen läßt:
Auch die zweite Aussage besitzt eine Umkehrung, die beispielsweise benutzt wird, um für das magnetische Feld ein Potential anzugeben.
$\mathrm{rot}\vec{V}=0\quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}=\mathrm{grad}\,\vec{F}.$
$F$ heißt Potential (und ist bis auf einem Konstanten eindeutig bestimmt). Satz (Vektorpotential):
Ein Vektorfeld $\vec V\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ist genau dann quellenfrei, wenn es sich als die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{W}$ darstellen läßt:
$\mathrm{div}\,\vec{V}=0\quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}=\mathrm{rot}\,\vec{W}$
Das Vektorfeld $\vec{W}$ heißt Vektorpotential und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion eindeutig bestimmt.