24.2 Vektoranalysis
Divergenz und Rotation
Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U\rightarrow \mathbb{R}^n\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt die Abbildung \(\mathrm{div} \vec{f}: U \rightarrow \mathbb{R}\) mit
$\mathrm{div}\,\vec{f}(\vec{x})=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \displaystyle\frac{\partial f_j}{\partial x_j}(\vec{x})$
die Divergenz von $\vec{f}$.Ist $\vec{f}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, dann heißt
\(\mathrm{rot}\vec{f}=\left(\begin{array}{c} \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2}- \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\ \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}- \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\\ \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}- \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\end{array}\right) \)
die Rotation von $\vec{f}$ (englisch: curl ).Falls ein Vektorfeld $\vec{f}$ im $\mathbb{R}^3$ ein Potential besitzt, dann ist nach dem Satz über die Integrabilitätsbedingung aus Kapitel 21 $\mathrm{rot} \vec{f} = \vec{0}$.
Falls $\mathrm{rot} \vec{f} = 0$ ist, dann heißt $\vec{f}$ wirbelfrei.