Flüsse durch Flächen

Neben reellwertigen Funktionen $F:S\to \mathbb{R}$, die auf einer Fläche $S$ definiert sind, gibt es noch eine weitere Art von Oberflächenintegralen, die in der Praxis sehr wichtig sind. Dazu betrachtet man ein Vektorfeld $\vec{v}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$, das man sich anschaulich als das Geschwindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitströmung vorstellen kann. Das Skalarprodukt $\vec{v}\cdot \vec{n}$ ist dann an jeder Stelle der Fläche ein Maß dafür, wieviel durch die Fläche strömt. Wenn man sich an einer Stelle $\vec{\Phi }(u_0,v_0)$ den Vektor $\vec{v}$ in einen Anteil parallel zur Fläche $S$ und einen Anteil senkrecht zu $S$ zerlegt, dann wird der orthogonale Anteil gerade durch das Skalarprodukt $\vec{v}\cdot \vec{n}$ beschrieben, wobei $\vec{n}(u_0,v_0)$ der Einheitsnormalenvektor der Fläche $S$ ist. Dieser orthogonale Anteil gibt gerade an wieviel Flüssigkeit durch die Fläche strömt. Dies ist der physikalische Hintergrund der folgenden Definition.

Definition (Fluss):
Sei $S$ eine reguläre Fläche im $\mathbb{R}^3$ und $\vec{v}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ein Vektorfeld. Dann nennt man

$\displaystyle\iint\limits_S\vec{v}\cdot \vec{n}\,\mathrm{d}\sigma$

den Fluss des Vektorfelds durch die Fläche $S$.

Bemerkung:
Wenn $\Phi: \Omega \to \mathbb{R}^3$ eine Parametrisierung der Fläche $S$ ist, dann ist wegen $\vec{n}=\dfrac {\vec{\Phi }_ u \times \vec{\Phi }_ v }{|\vec{\Phi }_ u \times \vec{\Phi }_ v |}$

$\displaystyle\iint\limits_S\vec{v}\cdot \vec{n}\,\mathrm{d}\sigma=\displaystyle\iint\limits_\Omega \vec{v}\cdot \dfrac{\vec{\Phi}_u\times\vec{\Phi}_v}{|\vec{\Phi}_u\times\vec{\Phi}_v|}|\vec{\Phi}_u\times\vec{\Phi}_v|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\displaystyle\iint\limits_\Omega \vec{v}\cdot \left(\vec{\Phi}_u\times\vec{\Phi}_v\right)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v,$

der Normalenvektor muss also für die Rechnung nicht normiert werden.

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