24.1 Der Satz von Green

Beweis:

Wir betrachten zunächst ein Normalgebiet $D$. Darunter versteht man ein Gebiet, das sowohl bezüglich der $x$-Achse ein Normalbereich ist als auch bezüglich der $y$-Achse, also

$\begin{array}{rcl}D&=&\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;a\leq x\leq b,\;h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}\\&=&\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;c\leq y\leq d,\;k_1(y)\leq x\leq k_2(y)\}\end{array}$

so dass das Integral über $D$ als iteriertes Integral in beliebiger Reihenfolge berechnet werden kann. Normalgebiete sind beispielsweise Rechtecke, Kreisscheiben oder andere konvexe Mengen, aber auch nichtkonvexe Mengen können ein Normalgebiet sein.

Das Integral über eine skalare Funktion $\varphi \colon D\to \mathbb{R}$ kann man schreiben als

\(\displaystyle\iint\limits_D\varphi(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_a^b\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}\varphi(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int\limits_c^d\int\limits_{k_1(y)}^{k_2(y)}\varphi(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\)

Wir wählen zuerst \(\varphi (x,y)=\displaystyle\frac {\partial f}{\partial y}(x,y)\) und berechnen

\(\displaystyle\iint_D\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\displaystyle\int_a^b\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\)

Nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung angewandt auf das "‘innere"’ Integral ist dann

\(\begin{array}{rcl}\displaystyle\int\limits_a^b\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x&=&\displaystyle\int\limits_a^b\left(f(x,h_2(x))-f(x,h_1(x))\right)\,\mathrm{d}x\\&=&-\displaystyle\int_{\gamma}f(x,y)\,\mathrm{d}x\end{array}\)

denn eine Parametrisierung des Randes besteht aus den beiden Wegen

$\vec{\gamma}_1(t)=\left(\begin{array}{c}t\\h_1(t)\end{array}\right),a\leq t\leq b\;\;\text{und}\;\;\vec{\gamma}_2(t)=\left(\begin{array}{c}-t\\h_2(-t)\end{array}\right),\;-b\leq t\leq -a.$

Integriert man in der umgekehrten Reihenfolge erhält man auf dieselbe Art und Weise

$\displaystyle\iint_D\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\displaystyle\int_{\gamma}g(x,y)\,\mathrm{d}y$

und der Satz ergibt sich, indem man die Ergebnisse der beiden Rechnungen miteinander kombiniert.

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