Beispiele

Beispiel 1:

Die Menge der Punkte \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), die die Gleichung

\( f(x,y)=x^2+y^2-1=0 \)

erfüllen, liegen auf dem Einheitskreis. Man kann sie nicht alle auf einmal durch eine einzige Gleichung der Form $y=g(x)$ beschreiben. Genauso wenig schafft man es durch eine einzige Gleichung der Form $x=h(y)$.

Trotzdem kann man in der Nähe eines Punktes $(x_0,y_0)$ mit $x_0^2+y_0^2=1$ und $y_0>0$ die Lösungsmenge durch die Funktion $g:(-1,1)\to \mathbb{R}$ mit $g(x)=\sqrt {1-x^2}$ beschreiben. Genauso kann für $(x_0,y_0)$ mit $x_0^2+y_0^2=1$ und $y_0<0$ die Lösungsmenge durch die Funktion $g:(-1,1)\to \mathbb{R}$ mit $g(x)=-\sqrt {1-x^2}$ beschreiben.

Nur in der Nähe der beiden Punkte $(1,0)$ und $(-1,0)$ gelingt eine solche Beschreibung durch eine Gleichung $y=g(x)$ nicht, weil dort zu jedem x-Wert immer zwei passende y-Werte vorhanden sind. Eine Funktion kann aber nicht zwei Werte gleichzeitig annehmen.

Beispiel 2:

Die Gleichung $x^2-y^2=0$ hat als Lösungsmenge zwei Geraden, die sich im Ursprung schneiden. Auch hier kann man nicht die gesamte Lösungsmenge durch eine einzige Funktion y=g(x) oder x=h(y) beschreiben, aber außer in der Nähe des Schnittpunkts (0,0) der beiden Geraden, kann man immer einen Teil der Lösungskurven in der Form \(y=g(x)\) darstellen.

Beispiel 3:

Die Gleichung $\sin (x)=y^{2015}+y$ hat für jedes feste x eine Lösung $y_*(x)$ so dass $f(x,y_*(x))=0$ ist wobei $f(x,y)=\sin (x)-(y_*^{2015}+y_*)$ ist, denn die Funktion $y\mapsto y^{2015}+y$ ist streng monoton wachsend. Dennoch kann man diese Lösung nicht explizit hinschreiben, weil sich die Gleichung 2015. Ordnung für y nicht auflösen lässt. Aus den Lösungen \(y_*(x)\) für jeden einzelnen x-Wert kann man aber gedanklich eine Funktion zusammensetzen, die dann insgesamt die Lösungsmenge der impliziten Gleichung beschreibt und die man als eine Kurve in der x-y-Ebene skizzieren könnte, obwohl man nur wenige Punkte auf dieser Kurve genau angeben kann.

Diese Beispiele werden alle erfasst durch einen allgemeinen Satz, der aussagt, wann man die Lösungen einer Gleichung f(x,y)=0, die in der Nähe einer Lösung $(x_0,y_0)$ liegen in der Form y=g(x) schreiben kann.

Satz (Ableitung einer impliziten Funktion):

Sei $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion, $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ sei ein Punkt mit $f(x_0, y_0) = 0$ und $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\neq 0$.

Dann gibt es eine kleine Zahl $\delta >0$ und eine differenzierbare Funktion $g:(x_0-\delta ,x_0+\delta )\to \mathbb{R}$, so dass $f(x, g(x)) = 0$ ist für alle $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$. Die Ableitung von g in $x_0$ ist

$g’(x_0)=-\displaystyle\frac{f_x(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}.$

Figures/implizit_differenzieren

Auch wenn dieser Satz so schwierig ist, dass wir die Begründung nicht geben, kann man doch zumindest die letzte Formel herleiten. Sie ist nämlich eine Konsequenz der Kettenregel und man erhält sie, indem man die Gleichung

$f(x,g(x))=0$

zunächst mit der mehrdimensionalen Kettenregel differenziert und dann $x=x_0$ einsetzt, also

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))+\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))g’(x)=0\Rightarrow g’(x)=-\displaystyle\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))}$

Da $g(x_0)=y_0$ ist, folgt daraus dann die im Satz angegebene Formel. ❑

Beispiel (Thermodynamik):

Die Van-der-Waals-Gleichung verbindet das Molvolumen $V$, den Druck $p$ und die Temperatur $T$ eines realen Gases:

$p(V,T)=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{{V}^2}$

Dabei ist $R$ die Boltzmannsche Gaskonstante und $a$, $b>0$ sind materialabhängige Konstanten. Für die theoretische Berechnung der Wärmekapazität eines solchen Gases benötigt man die Ableitung des Volumens $V$ nach der Temperatur $T$ bei konstantem Druck $p_0$. Da sich die Gleichung

$p_0=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$

nicht explizit nach $V$ auflösen lässt, fasst man sie als implizite Gleichung für eine Funktion $V=V_*(T)$ auf. Die Ableitung in einem Punkt $(V_0,T_0)$, der zum Druck $p_0$ passt, ist nach dem Satz dann in der Schreibweise der Thermodynamik

$\left.\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p(V_0,T_0)=-\displaystyle\frac{\frac{\partial p}{\partial T}(V_0,T_0)}{\frac{\partial p}{\partial V}(V_0,T_0)}=-\displaystyle\frac{\frac{R}{V-b}}{-\frac{RT}{(V-b)^2}+\frac{2a}{V^3}}=\displaystyle\frac{RV^3(V-b)}{2a(V-b)^2-RTV^3}$