23.2 Flächeninhalt und Oberflächenintegral
Beispiel: Oberfläche eines Paraboloids
$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\Phi(r,\varphi)=\left(\begin{array}{c}r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)\\\frac{r^2}{2}\end{array}\right)$
mit den Parametern $0\leq r\leq 2$ und $0\leq \varphi \leq 2\pi $. Anders ausgedrückt, ist$S=\left\{(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),z)\in\mathbb{R}^3;\;z=\frac{r^2}{2},0\leq r\leq 2,0\leq \varphi\leq 2\pi \right\}$
$\begin{array}{ccc}\Phi_{r}=\left(\begin{array}{c}\cos(\varphi)\\\sin(\varphi)\\r\end{array}\right)&&\Phi_{\varphi}=\left(\begin{array}{c}-r\sin(\varphi)\\r\cos(\varphi)\\0\end{array}\right)\end{array}$
und$\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}=\left(\begin{array}{c}-r^2\cos(\varphi)\\-r^2\sin(\varphi)\\r\end{array}\right)$
also$\left\vert\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}\right\vert=\sqrt{r^4+r^2}=r\sqrt{1+r^2}.$
Schließlich erhält man als Oberflächeninhalt des Paraboloids$\begin{array}{rcl}A&=&\displaystyle\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi }\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi }\left\vert\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}\right\vert\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi }\left(\displaystyle\int\limits_{r=0}^{2}r\sqrt{1+r^{2}}\mathrm{d}r\right)\mathrm{d}\varphi\\&=&2\pi \left[\left(1+r^{2}\right)^{3/2}\right]_{r=0}^{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\pi }{3}\left(5^{3/2}-1\right)\end{array}$