23.2 Flächeninhalt und Oberflächenintegral

Wir betrachten die Menge $S=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3};\;2z=x^{2}+y^{2},0\leq z\leq 2\right\} $, d.h. es ist auch $x^2+y^2\leq 4$. In Zylinderkoordinaten $x=r\cos (\varphi ), y=r\sin (\varphi ),z=z$ ist $x^2+y^2=r^2$, die Bedingung $2z=x^2+y^2$ lässt sich daher als $2z=r^2$ schreiben und wir können $S$ beschreiben durch

$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\Phi(r,\varphi)=\left(\begin{array}{c}r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)\\\frac{r^2}{2}\end{array}\right)$

mit den Parametern $0\leq r\leq 2$ und $0\leq \varphi \leq 2\pi $. Anders ausgedrückt, ist

$S=\left\{(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),z)\in\mathbb{R}^3;\;z=\frac{r^2}{2},0\leq r\leq 2,0\leq \varphi\leq 2\pi \right\}$

$\begin{array}{ccc}\Phi_{r}=\left(\begin{array}{c}\cos(\varphi)\\\sin(\varphi)\\r\end{array}\right)&&\Phi_{\varphi}=\left(\begin{array}{c}-r\sin(\varphi)\\r\cos(\varphi)\\0\end{array}\right)\end{array}$

und

$\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}=\left(\begin{array}{c}-r^2\cos(\varphi)\\-r^2\sin(\varphi)\\r\end{array}\right)$

also

$\left\vert\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}\right\vert=\sqrt{r^4+r^2}=r\sqrt{1+r^2}.$

Schließlich erhält man als Oberflächeninhalt des Paraboloids

$\begin{array}{rcl}A&=&\displaystyle\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi }\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi }\left\vert\Phi_{r}\times\Phi_{\varphi}\right\vert\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi }\left(\displaystyle\int\limits_{r=0}^{2}r\sqrt{1+r^{2}}\mathrm{d}r\right)\mathrm{d}\varphi\\&=&2\pi \left[\left(1+r^{2}\right)^{3/2}\right]_{r=0}^{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\pi }{3}\left(5^{3/2}-1\right)\end{array}$