Flächeninhalt

Mit Hilfe der Parametrisierung lässt sich das Integral über eine gekrümmte Fläche $S$ auf ein Integral über die ebene Fläche $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ zurückführen. Der Ausdruck $|\vec{\Phi }_ u(u,v)\times \vec{\Phi }_ v(u,v)|$ misst dabei, wie stark sich Flächeninhalte durch die Abbildung $\vec{\Phi }$ ändern.

Definition (Oberflächenintegral):

Sei S eine reguläre Fläche, die durch die Abbildung $\vec{\Phi }:\Omega \to \mathbb{R}^3$ parametrisiert wird und \(F: S \to \mathbb{R}\) eine stetige Funktion. Dann heißt

$\displaystyle\iint\limits_S F(\vec{x})\,\mathrm{d}\sigma=\displaystyle\iint\limits_{\Omega }F(\vec{\Phi}(u,v))|\vec{\Phi}_u(u,v)\times\vec{\Phi}_v(u,v)|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

das Oberflächenintegral von F über die Fläche S.

Speziell für \(F\equiv 1\) heißt

$\displaystyle\iint_S1 \,\mathrm{d}\sigma=\displaystyle\iint_{\Omega }|\vec{\Phi}_u(u,v)\times\vec{\Phi}_v(u,v)|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

der Flächeninhalt der Fläche S.

Den Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche im Raum kann man also durch das Integral über die Funktion, die überall den konstanten Wert 1 hat, berechnen.
Man erhält dabei immer denselben Wert für den Flächeninhalt von S unabhängig davon, wie man die Parametrisierung $\vec{\Phi }$ gewählt hat.

Beispiel (Kugeloberfläche)

Die Oberfläche einer Halbkugel $H_+$ vom Radius R lässt sich parametrisieren durch die Abbildung $\vec{\Phi }:\Omega \to \mathbb{R}^3$ mit $\Omega=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2; \;u^2 + v^2 < R^2\}$ und

$\vec{\Phi}(u,v)=\left(\begin{array}{c}u\\v\\ \sqrt{R^2-u^2-v^2}\end{array}\right)$

Also ist

$\vec{\Phi}_u(u,v)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\-\frac{u}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\end{array}\right),\;\;\vec{\Phi}_v(u,v)=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-\frac{v}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\end{array}\right)$ und $\vec{\Phi}_u(u,v)\times\vec{\Phi}_v(u,v)=\left(\begin{array}{c}\frac{u}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\\\frac{v}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\\1\end{array}\right)$

und damit

$|\vec{\Phi}_u(u,v)\times\vec{\Phi}_v(u,v)|=\left(\frac{u^2}{R^2-u^2-v^2}+\frac{v^2}{R^2-u^2-v^2}+1\right)^{1/2}= \displaystyle\frac{R}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}$

Als Einheitsnormalenvektor ergibt sich daraus dann

$\vec{n}=\displaystyle\frac{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}{R}\left(\begin{array}{c}\frac{u}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\\ \frac{v}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\\1\end{array}\right)=\displaystyle\frac{1}{R}\left(\begin{array}{c}u\\v\\\sqrt{R^2-u^2-v^2}\end{array}\right).$

Für den Oberflächeninhalt erhält man also nach Definition

$\displaystyle\iint\limits_{H_+}\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{\Omega } \displaystyle\frac{R}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.$

Dieses Integral lässt sich wiederum am besten in Polarkoordinaten $u=r\cos (\varphi ),\;v=r\sin (\varphi )$ berechnen:

\( \begin{array}{rcl} \displaystyle\iint\limits_{\Omega } \displaystyle\frac{R}{\sqrt{R^2-u^2-v^2}}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v& =& \displaystyle\int\limits_{r=0}^R \displaystyle\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi } \displaystyle\frac{Rr}{\sqrt{R^2-r^2}}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r \\ & = & \displaystyle\int\limits_{r=0}^R \displaystyle\frac{2\pi Rr}{\sqrt{R^2-r^2}}\mathrm{d}r=\left.-2\pi R\sqrt{R^2-r^2}\right|_{r=0}^R=2\pi R^2 \end{array}. \)

Der Flächeninhalt einer Sphäre mit Radius R ist davon das Doppelte, also \(4\pi R^2\).

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