20.5 Das mehrdimensionale Newton-Verfahren
Konvergenz
Ähnlich wie im Eindimensionalen konvergiert das Newton-Verfahren gegen eine Nullstelle der Funktion $\vec{F}$, wenn der Startwert "nahe genug" an dieser Nullstelle liegt. Mathematisch gesprochen heißt das dann:
Sei \(\vec{a}\) eine Nullstelle der differenzierbaren Funktion \(\vec{F}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\), d.h. sei $\vec{F}(\vec{a})=\vec{0}$ und $\det D\vec{F}(\vec{a})\neq 0$. Dann gibt es eine Zahl $\delta >0$, so dass das mehrdimensionale Newton-Verfahren für jeden Startwert $\vec{x}_0$ mit $|\vec{x}_0-\vec{a}|<\delta $ gegen $\vec{a}$ konvergiert.
Der mühsame Teil am mehrdimensionalen Newton-Verfahren ist meist das Invertieren der Jacobi-Matrix. Damit man nicht in jedem Iterationsschritt eine Matrix invertieren muss, benutzt man auch häufig das modifizierte Newton-Verfahren
\( \vec{x}_{n+1}=\vec{x}_n-(D\vec{F}(\vec{x}_0))^{-1}\vec{F}(\vec{x}_n), \)
bei dem die Jacobi-Matrix des Startwerts "recycelt" wird. Falls der Startwert nahe genug an der gesuchten Lösung liegt, dann konvergiert auch dieses Verfahren, wenn auch etwas langsamer als das echte Newton-Verfahren.