22.3 Koordinatentransformationen und die Transformationsformel
Abschlussbedingungen
Zylinderkoordinaten
Bei Zylinderkoordinaten im Raum ist die zugrundeliegende Abbildung
| $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\vec{\Phi}(r,\varphi,\zeta)=\left(\begin{array}{c}r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)\\\zeta\end{array}\right)$ |
Man führt also in der x-y-Richtung Polarkoordinaten ein und lässt die z-Richtung unverändert. Die Bezeichnung $\zeta$ dient dazu, die alten und die neuen Koordinaten zu unterscheiden, aber es ist natürlich $\zeta=z$.
Die Funktionaldeterminante ist dann
| $\det D\vec{\Phi}((r,\varphi,\zeta)=\left|\begin{array}{ccc}\cos(\varphi)&-r\sin(\varphi)&0\\\sin(\varphi)&r\cos(\varphi)&0\\0&0&1\end{array}\right|=r\cos^2(\varphi)+r\sin^2(\varphi)=r.$ |
Damit ist
| $\displaystyle\iiint\limits_Mf(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\iiint\limits_Uf(\vec{\Phi}(r,\varphi,\zeta))r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\zeta.$ |
wobei U die Darstellung der Menge M in Zylinderkoordinaten ist.
Bemerkung:
Weil, wie oben schon erwähnt, $\zeta =z$ ist, schreibt man häufig auch statt $\zeta$ überall direkt $z$. Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet daher meist $r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z$.
Beispiel (Rotationskörper):
Rotiert das hier gezeichnete Flächenstück um die z-Achse, dann entsteht ein Körper K.
Dessen Volumen lässt sich am besten in Zylinderkoordinaten berechnen, da diese der Symmetrie des Problems angepasst sind.
Dieser Rotationskörper K wird in Zylinderkoordinaten durch die Ungleichungen
| $0\leq r\leq 2,\quad 0\leq \varphi\leq 2\pi,\quad \sqrt{x}\leq z\leq \sqrt{2}$ |
beschrieben. Sein Volumen ist daher
| $V=\displaystyle\int\limits_0^2\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{\sqrt{r}}^{\sqrt{2}}r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r=\frac{4}{3}\pi\sqrt{2}$ |
Anregung:
In Kapitel 15 hatten wir uns schon einmal mit Volumina von Rotationskörpern befasst. Vergleichen Sie das Vorgehen von damals mit der Berechnung in Zylinderkoordinaten und leiten Sie die allgemeine Formel aus Kapitel 15 aus einer Rechnung in Zylinderkoordinaten noch einmal her.