22.3 Koordinatentransformationen und die Transformationsformel
Abschlussbedingungen
Rückblick: Die Substitutionsregel
Die Substitutionsregel für das eindimensionale (Riemann-)Integral aus Kapitel 14 besagte, dass für eine stetige Funktion $f: [c,d]\to \mathbb {R}$ und eine stetig differenzierbare "Transformation" $\varphi : [a,b]\to [c,d]$ immer
$\displaystyle\int\limits_a^bf(\varphi(t))\varphi’(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,\mathrm{d}x$ |
ist. Falls $\varphi ' > 0$ (oder $\varphi ' < 0$) ist, dann könnte man diese Gleichung auch schreiben als
$\displaystyle\int\limits_{[a,b]}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f(x)\,\mathrm{d}x$ |
oder als
$\displaystyle\int\limits_{\varphi^{-1}[c,d]}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{[c,d]}f(x)\,\mathrm{d}x.$ |