Rückblick: Die Substitutionsregel

Die Substitutionsregel für das eindimensionale (Riemann-)Integral aus Kapitel 14 besagte, dass für eine stetige Funktion $f: [c,d]\to \mathbb {R}$ und eine stetig differenzierbare "Transformation" $\varphi : [a,b]\to [c,d]$ immer

$\displaystyle\int\limits_a^bf(\varphi(t))\varphi’(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,\mathrm{d}x$

ist. Falls $\varphi ' > 0$ (oder $\varphi ' < 0$) ist, dann könnte man diese Gleichung auch schreiben als

$\displaystyle\int\limits_{[a,b]}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f(x)\,\mathrm{d}x$

oder als

$\displaystyle\int\limits_{\varphi^{-1}[c,d]}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{[c,d]}f(x)\,\mathrm{d}x.$

Mit Hilfe von geschickten Anwendungen der Substitutionsregel konnte man unbekannte Integrale auf andere Integrale zurückführen, die sich wesentlich leichter berechnen ließen.

Eine ähnliche Vorgehensweise gibt es auch für mehrdimensionale Integrale und sogar die zugehörige Formel (die Transformationsformel) ist genauso aufgebaut wie die Substitutionsregel.

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