Eigenschaften des Integrals

An dieser Stelle lösen wir uns auch wieder von der Vorstellung, dass das Integral unbedingt eine Volumenberechnung darstellt und erlauben, dass $f$ auch negative Werte annimmt. Anschaulich werden Bereiche des Schaubilds, die unter der x-y-Ebene liegen dann negativ zum Integral beitragen, während Bereiche oberhalb der x-y-Ebene positiv zählen.

Da die Konstruktionsmethode ganz ähnlich ist wie im eindimensionalen Fall, hat auch das mehrdimensionale Riemann-Integrals einige Eigenschaften, die uns schon wohlbekannt sind

Satz (Eigenschaften des Integrals):

Sei $R=[a,b]\times [c,d]$ ein Rechteck, $f,g\colon R\to \mathbb {R}$ seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen und $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Dann gilt:

  • Die Funktion $\alpha f+ \beta g$ ist Riemann-integrierbar mit

    \(\displaystyle\iint_R\alpha f+\beta g\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\alpha\iint_Rf(x)\,\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y+\beta\iint_Rg(x)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\;\;\) (Linearität)}

  • Falls $f(x,y)\leq g(x,y)$ für alle $(x,y)\in R$, dann ist \(\displaystyle \iint \limits _R f(x) \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\leq \iint \limits _R g(x) \; \mathrm{d}x\; \mathrm{d}y\;\;\) (Monotonie)

Zunächst ist aus der Definition der Riemann-Integrierbarkeit überhaupt nicht zu erkennen, welche Funktionen man überhaupt integrieren kann (und welche möglicherweise nicht). Wir werden hier auch nicht die Feinheiten ausloten (die im wesentlichen darauf hinauslaufen, dass die Menge, auf der sich die Funktion f nicht "gut" verhält, in einem gewissen "maßtheoretischen" Sinn klein sein muss). Es reicht aber in der Regel, die wichtigste Klasse von Funktionen zu kennen, die Riemann-integrierbar sind:

Satz (Stetige Funktionen sind integrierbar):

Jede stetige Funktion \(f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}\) ist Riemann-integrierbar.

Mit sehr viel Theorie kann man die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen noch genauer charakterisieren. Dazu benötigt man den Begriff der Nullmenge, der beschreibt, wann eine Menge im $\mathbb {R}^2$ den Flächeninhalt Null hat.

Definition (Nullmenge)

Eine Teilmenge \(N\subset \mathbb {R}^2\) heißt Nullmenge, wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl $\varepsilon >0$ endlich viele Rechtecke $R_1,R_2,\ldots ,R_ k$ oder unendlich viele Rechtecke $R_1,R_2,R_3,\ldots $ gibt, deren Gesamtfläche kleiner als $\varepsilon $ ist.

Falls die Menge $N$ von unendlich vielen Rechtecken überdeckt wird, dann wird die Gesamtfläche dieser Rechtecke durch eine unendliche Reihe dargestellt.
Beispielsweise kann eine Kreislinie immer durch Rechtecke überdeckt werden, deren Gesamtfläche kleiner ist als eine vorgegebene Zahl \(\varepsilon\). Anschaulich ist klar, dass dafür immer mehr Rechtecke nötig sein werden. Mit Hilfe der Nullmengen lässt sich die Riemann-Integrierbarkeit nun genauer charakterisieren:

Satz (Integrierbarkeit):

Sei \(R\subset \mathbb{R}^2\) ein Rechteck und $f:R\to \mathbb {R}$ eine beschränkte Funktion. Dann ist \(f\) genau dann Riemann-integrierbar auf dem Rechteck \(R\), wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von \(f\) eine Nullmenge ist.

Für praktische Anwendungen ist es zum Beispiel nützlich zu wissen, dass diese Bedingung erfüllt ist, wenn die Funktion f zum Beispiel nur entlang einer glatten Kurve nicht stetig ist oder wenn f überall stetig ist außer entlang von endlich vielen geraden Linien wie es bei der stückweisen Definition von Funktionen manchmal vorkommt.

Sie haben 100% der Lektion erledigt.
100%