20.3 Extrema mit Nebenbedingungen
Abschlussbedingungen
Lagrange-Multiplikatoren
Definition (Lagrange-Multiplikator)
Sucht man die Extrema einer Funktion $f:D \mapsto \mathbb {R}$ unter der Nebenbedingung $g(\vec{x})=0$, dann heißt die Funktion $L(\vec{x},\lambda ) = f(\vec{x}) + \lambda g(\vec{x})$ Lagrange-Funktion und der Vorfaktor $\lambda \in \mathbb {R}$ heißt Lagrange-Multiplikator.
Satz (Methode der Lagrange-Multiplikatoren):
Sei $D \subset \mathbb {R}^ n$, $f: D \mapsto \mathbb {R}$ differenzierbar und die Nebenbedingung $g(\vec{x})=0$ durch eine differenzierbare Funktion $g: D \mapsto \mathbb {R}$ beschrieben. Wenn $\vec{x}_0$ ein lokales Extremum von $f$ auf der Menge $ K= \{ \vec{x} \in \mathbb {R}^ n;\,g(\vec{x}) = 0 \} \subset D$ ist, dann gibt es ein $\lambda _0 \in \mathbb {R}$ so dass $\mathrm{grad} L(\vec{x}_0, \lambda _0)=0$ ist. Diese Gleichung ergibt ausgeschrieben das nichtlineare Gleichungssystem
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x_1}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x_1}&=&0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x_2}&=&0\\ \vdots&&\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x_n}&=&0\\g(\vec{x})&=&0\end{array}$
Der Punkt $(\vec{x}_0, \lambda _0)$ ist also ein kritischer Punkt der Lagrange-Funktion.Bemerkungen:
- Statt der kritischen Punkte der ursprünglichen Funktion $f$ sucht man also kritische Punkte der Lagrange-Funktion $L$. Diese kritischen Punkte sind allerdings nur Kandidaten für lokale Extrema unter der Nebenbedingung $g(x)=0$. Anders als im vorigen Abschnitt kann man auch nicht mit Hilfe der Hesse-Matrix von $L$ sicher auf ein Maximum oder Minimum schließen.
- In der Literatur definiert man gelegentlich "$L(x)=f(x)-\lambda g(x)$" statt "$L(x)=f(x)+\lambda g(x)$". Außer dass die Lagrange-Multiplikatoren das Vorzeichen wechseln, ändert sich dadurch nichts. Insbesondere erhält man dieselben kritischen Punkte und damit dieselben Kandidaten für lokale Extrema.
- In vielen Fällen ist die Nebenbedingung geometrischer Art. Beispielsweise sollen nur Punkte betrachtet werden, die auf einer Kugeloberfläche oder im Innern eines Kreises liegen. In diesem Fall gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten, diese Bedingung durch eine Gleichung $g(x)=0$ zu beschreiben. Man sollte hierbei darauf achten, dass $g$ möglichst einfach gewählt wird und dass $\mathrm{grad} g(x) \neq 0$ auf dem Rand der Menge gilt. Ansonsten muss man diese entarteten Punkte gesondert untersuchen.
- Ist $D$ eine nichtleere beschränkte Menge, dann zeigt ein abstraktes Argument, dass $f$ ein Maximum und ein Minimum besitzen muss: Die Mengen $\overline{D}$ und $\partial D$ sind kompakt, da sie abgeschlossen und beschränkt sind. Wenn $f$ eine stetige Funktion ist, dann nimmt sie auf jeder dieser kompakten Mengen ein Minimum und ein Maximum an. Falls $D$ eine unbeschränkte Menge ist, muss dagegen kein Extremum von $f$ existieren.
- Das praktische Vorgehen zur Bestimmung von globalen Minima und Maxima von $f$ auf einer Menge $\overline{D}$ mit inneren Punkten und Rand ist folgendermaßen:
Man sucht alle kritischen Punkte im Inneren von $D$ mittels $ \mathrm{grad} f(\vec{x}) = \vec{0} $.
Dann sucht man alle kritischen Stellen auf dem Rand $\partial D$ mittels $\mathrm{grad} L(\vec{x}, \lambda ) = \vec{0}$.
Diejenigen kritischen Stellen mit dem größten/kleinsten Funktionswert sind globale Maximal-/Minimalstellen. - Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren führt in der Regel auf ein nichtlineares Gleichungssystem.
Dafür gibt es kein standardisiertes Vorgehen. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass Fallunterscheidungen oft eine Rolle spielen und dass man mit etwas Glück eine oder mehrere der Variablen durch Einsetzen eliminieren kann. Ein Vorgehen wie beim Gaußschen Eliminationsverfahren ist hier nicht zielführend.