20.3 Extrema mit Nebenbedingungen

Im vorigen Abschnitt haben wir Techniken kennengelernt, mit denen man lokale Extrema einer differenzierbaren Funktion im Inneren einer offenen Menge $M$ finden kann. Es kann aber durchaus passieren, dass

• eine Funktion ihre größten oder kleinsten Werte auf dem Rand der Menge $M$ annimmt oder

• die Menge $M$ gar keine inneren Punkte besitzt, zum Beispiel, wenn $M$ die Oberfläche einer Kugel im $\mathbb {R}^3$ ist.

Um zu sehen, was man in solchen Situationen tun kann, suchen wir die Extrema der Funktion $f(x,y) = y-x^2$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $D:=\{ (x,y) \in \mathbb {R}^2 ;\, x^2+y^2 \leq 1 \} $. Abgeschlossen bedeutet dabei, dass der Rand der Kreisscheibe zu $D$ dazugehört.

Mit dem folgenden Geogebra-Applet können Sie selbst versuchen, experimentell die Stellen in \(D\) zu finden, an denen \(f\) seinen größten bzw. seinen kleinsten Wert annimmt, indem Sie den Punkt \(P\) innerhalb von \(D\) verschieben.

Nun aber ein paar theoretische Überlegungen:

Kandidaten für Extrema im Innern von $D$ findet man, indem man die Gleichung $\mathrm{grad} f(x,y)=\vec{0}$ löst. Da der Gradient von $f$ nirgends verschwindet, besitzt $f$ keine Extrema im Inneren der Kreisscheibe.

Das abstrakte Argument aus dem Satz vom Maximum ("Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge immer ihr Maximum und ihr Minimum tatsächlich an einer Stelle an.") zeigt, dass die Funktion $f$ ihr Minimum und ihr Maximum irgendwo auf der kompakten Menge $D$ annehmen muss , denn $D$ ist abgeschlossen und beschränkt, und damit kompakt, $f$ ist offenbar differenzierbar und damit auch stetig.
Da im Innern keine Extrema liegen, müssen diese sich zwangsläufig auf dem Rand von $D$ befinden.

Um diese Extremstellen auf dem Rand von $D$ zu finden, sucht man Extrema von

$f(x,y)=y-x^2$

unter der Nebenbedingung $x^2+y^2 = 1$ . Man kann dabei auf verschiedene Arten vorgehen.