18.4 Taylorpolynome und Taylorreihen
Beispiel: Sinus und Cosinus
$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)$, $\;\left(\sin(x)\right)''=-\sin(x)$, $\;\left(\sin(x)\right)^{(3)}=-\cos(x)$, $\;\left(\sin(x)\right)^{(4)}=\sin(x)$ undsoweiter
Insbesondere haben daher die Ableitungen der Sinusfunktion an der Stelle \(x=0\) die Werte 0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,.... Da die geraden Ableitungen verschwinden, treten im Taylorpolynom nur ungerade Potenzen auf. Dies liegt daran, dass die Sinusfunktion eine ungerade Funktion ist. Das Taylorpolynom der Sinusfunktion vom Grad 2n+1 lautet daher
\(T_{2n+1}(x;\sin,0)=x- \displaystyle\frac{x^3}{3!}+ \displaystyle\frac{x^5}{5!}-+\dots+(-1)^n \displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
Analog kann man Taylorpolynome der Cosinusfunktion zum Entwicklungspunkt \(x_0=0\) bestimmen und stellt fest, dass nur gerade Potenzen vorkommen. Genauer ergibt sich
$T_{2n}(x;\cos,0)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-+\dots+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
Weil man diese Entwicklung bis zu einer beliebig hohen Potenz durchführen kann, erhält man im Grenzfall eine unendliche Reihe, die die Cosinus- bzw. Sinusfunktion darstellen.
Cosinus und Sinus haben für alle $x\in \mathbb {R}$ die Potenzreihendarstellung
$\begin{array}{rcl}\sin(x)&=&\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\\cos(x)&=&\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.\end{array}$
Diese "Reihenentwicklungen" haben eine große praktische Bedeutung, denn
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zum einen kann man für praktische Rechnungen und solange |x| einigermaßen klein ist, nichtlineare Terme wie $\sin (x)$ durch den oder die ersten Terme der Reihe ersetzen und
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zum anderen kann man das Grenzwertverhalten von Funktionen manchmal leicht verstehen, wenn man die Potenzreihen verwendet. Beispielsweise ist
$\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x\sin(x)}{\cos(x)-1}=\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-+\dots)}{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-+\dots-1}=\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x^2+\dots}{-\frac{x^2}{2!}+\dots}=-2$