Taylorpolynome

Nachdem wir im vorigen Abschnitt in erster Linie von den Potenzreihen ausgegangen waren und dann überlegt hatten, welche Funktionen dadurch dargestellt werden, gehen wir jetzt den umgekehrten Weg und bestimmen zu einer vorgegebenen Funktion ein Polynom beliebig hohen Grades, das die Funktion in einem gewissen Sinne approximiert. Man betrachtet dazu wieder einen Entwicklungspunkt $x_0\in \mathbb {R}$ und definiert dann:

Definition (Taylor-Polynom)
Sei f eine $n$-mal differenzierbare Funktion. Dann nennt man das Polynom

$T_n(x;f,x_0)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

das Taylor-Polynom n-ten Grades von f zum Entwicklungspunkt $x_0$.

Dass dieses Polynom in der Nähe von $x_0$ recht gut mit f übereinstimmt ist die Aussage des folgenden Satzes.

Satz (Taylor-Polynom):
Die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ sei im Innern des Intervalls $[a,b]$ $(n+1)$-mal stetig differenzierbar und die ersten $n$ Ableitungen seien stetig auf $[a,b]$. Weiter sei $x_0\in (a,b)$ ein fest gewählter Entwicklungspunkt. Dann gibt es eine Zwischenstelle $\xi \in (a,b))$, so dass

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$

Definition (Lagrange-Restglied)
Den Term

$R_{n+1}(x)=\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$

der den Unterschied zwischen f(x) und dem Taylor-Polynom $T_ n(x;f,x_0)$ misst, also den Fehler bei der Approximation von f durch $T_ n$, nennt man Lagrange-Restglied. Da $\xi $ zwischen $x_0$ und x liegt, gilt für das Restglied die Abschätzung

$|R_{n+1}(x)|\leq\displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\max\limits_{a\leq\xi\leq b}\left|f^{(n+1)}(\xi)\right|\cdot|x-x_0|^{n+1}.$

Wenn man die $(n+1)$-te Ableitung auf dem Intervall $[a,b]$ abschätzen kann, hat man also einen Anhaltspunkt dafür, wie genau f durch das $n$-te Taylor-Polynom approximiert wird.

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