Was sind Potenzreihen?

Eine der wichtigsten Rollen von Reihen in der Angewandten Mathematik besteht darin, dass man mit ihrer Hilfe "Polynome unendlichen Grades" definieren kann, wenn man nur hier und da vorsichtig genug vorgeht. Interessanterweise lassen sich auf diese Weise eine Fülle an Funktionen definieren, deren Eigenschaften mit denen von Polynomen nicht mehr viel gemeinsam haben, mit denen man aber in vielerlei Hinsicht so rechnen kann wie mit Polynomen.

Definition (Potenzreihen)
Reihen der Form $\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_ k(x-x_0)^ k\;$ mit beliebigen Koeffizienten $a_ k\in \mathbb {R}$ heißen Potenzreihen in x mit Entwicklungspunkt $x_0 \in \mathbb{R}$.

Für jede Zahl x, die man einsetzt, erhält man auf diese Weise eine "normale" Reihe, so wie wir sie in den beiden vorigen Abschnitten untersucht haben. Da sich für jedes x eine andere Reihe ergibt, stellt sich als erstes die Frage, für welche x diese Reihe konvergent ist und für welche x nicht. Die Antwort darauf ist für alle Potenzreihen ziemlich ähnlich:

Satz (Konvergenzradius):
Sei $\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_ k(x-x_0)^ k\;$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0$. Dann gibt es eine Zahl $\rho \in [0,\infty )\cup \{ \infty \}$, so dass
  • die Reihe für alle x mit $|x-x_0|<\rho $ konvergiert und
  • für alle x mit $|x-x_0|>\rho $ divergiert.
Diese Zahl nennt man den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Figures/konvergenzradius

Falls der Konvergenzradius $\rho =\infty$ ist, bedeutet das, dass die Potenzreihe für alle $x\in \mathbb {R}$ konvergiert.

Über die Punkte mit $|x-x_0|=\rho $, also über $x_0-\rho$ und $x_0+\rho$ wird nichts ausgesagt. Wenn man die Konvergenz in diesen Punkten wissen möchte, dann muss man sie getrennt untersuchen.

Bemerkung (Warum Konvergenz-"Radius"?):
Der Begriff Konvergenzradius bezieht sich auf Potenzreihen mit komplexen Koeffizienten, bei denen die Variable x als eine komplexe Zahl aufgefasst wird. In diesem Fall stellt sich nämlich heraus, dass die Reihe konvergiert, wenn x in einem Kreis mit Radius $\rho$ um den Entwicklungspunkt $x_0$ in der komplexen Ebene liegt. Von diesem Kreis "sieht"€™ man in unserer reellen Betrachtungsweise nur das Intervall zwischen $x_0-\rho $ und $x_0+\rho $.

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