Absolute Konvergenz

Nicht jede Reihe besteht nur aus positiven Gliedern, daher definiert man absolute Konvergenz .

Definition (absolute Konvergenz)
Eine Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty } a_ k$ heißt absolut konvergent , wenn sogar $\sum \limits _{k=1}^{\infty } |a_ k|$ konvergent ist.

Der folgende Satz sagt aus, dass absolute Konvergenz tatsächlich etwas stärkeres ist als die "normale" Konvergenz von Reihen.

Satz(absolute Konvergenz $\Rightarrow$ "normale" Konvergenz):
Wenn die Reihe $\sum\limits _{k=1}^{\infty }|a_k|$ konvergent ist, dann konvergiert auch $\sum\limits _{k=1}^{\infty }a_ k$.

Die Begründung dieses Satzes beruht auf dem Cauchy-Kriterium, das wir in dieser Vorlesung nicht besprochen haben. Es besagt, dass eine unendliche Reihe genau dann konvergent ist, wenn man für jede noch so kleine Zahl $\varepsilon >0$ einen Index $N\in \mathbb {N}$ finden kann, so dass für beliebige Zahlen $n\geq m\geq N$ die lange, aber endliche Summe $a_ m+a_{m+1}+a_{m+1}+\dots +a_{n-1}+a_ n<\varepsilon $ ist.

Insbesondere folgt aus dem Satz, dass für jede konvergente Reihe $a_1+a_2+a_3+\dots $ mit positiven Gliedern auch die alternierende Reihe $a_1-a_2+a_3-a_4+-\dots $ konvergent ist.

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