Wie erkennt man, dass eine Reihe konvergiert?

Wie bei den Zahlenfolgen stellt sich auch bei unendlichen Reihen zunächst die Frage, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder nicht. Wir beginnen mit einem relativ einfachen Resultat, mit dem man manche divergente Reihen schnell erkennen kann.

Satz (Divergenzkriterium):
Ist die unendliche Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_ k$ konvergent, dann gilt
$\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0,$
die Reihenglieder bilden also eine Nullfolge.
Umgekehrt gilt daher: Bilden die Glieder $$(a_ k)_{k\in \mathbb {N}}$$ keine Nullfolge, dann ist die Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_ k$ divergent.

Begründung: Sei $S=\sum\limits_{k=1}^{\infty }a_ k$ die Summe der Reihe. Konvergenz bedeutet nach Definition, dass es für jede Zahl $$\varepsilon >0$$ einen Index N gibt, so dass

$$\left|S_n-S\right|=\left|\sum\limits_{k=0}^na_k-S\right|<\varepsilon$$

ist, wenn $n\geq N$ ist. Dann ist aber

$$\begin{array}{rcl}|a_{n+1}|&=&\left|\sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k-\sum\limits_{k=0}^na_k\right|=\left|\left(\sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k-S\right)\;-\;\left(\sum\limits_{k=0}^na_k-S\right)\right|\\&\leq&\left|\sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k-S\right|+\left|\sum\limits_{k=0}^na_k-S\right|\;\;\;\text{(Dreiecksungleichung)}\\&<&\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon\end{array}$$

Für jede noch so kleine Zahl $\varepsilon >0$ findet man also ein N, so dass die Glieder der Reihe ab dem Index N+1 betragsmäßig kleiner als $2\varepsilon$ sind. Damit muss die Folge $(a_ k)_{k\in \mathbb {N}}$ eine Nullfolge sein. ❑

Achtung! Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe eine Nullfolge bilden, heißt das nicht automatisch, dass die Reihe konvergiert. Das sieht man beispielsweise an der harmonischen Reihe mit $a_ k=\frac{1}{k}$. Obwohl die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, ist die Reihe selbst divergent.

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