18.1 Unendliche Reihen
Was ist eine unendliche Reihe?
Ganz ähnlich wie die Zahlenfolgen aus Kapitel 10 eine unendliche Auflistung von reellen Zahlen sind, sind Reihen so etwas wie eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Zunächst geht es darum herauszufinden, ob diese Summe eine endliche Zahl ergibt oder unendlich ist. Falls möglich möchte man die Summe natürlich auch berechnen. Wenn man Reihen auf die richtige Art betrachtet, dann sind diese unendlichen Summen nichts anderes als eine spezielle Form von Zahlenfolgen, mit deren Konvergenz wir uns schon auskennen.
Nach den "normalen" Reihen mit konstanten Gliedern, bei denen Zahlen aufsummiert werden, werden wir auch noch die sogenannten Potenzreihen betrachten. Diese "Polynome von unendlichem Grad" sind Funktionen der Form
\(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots\)
mit denen man oft auch genauso rechnen kann wie mit Polynomen.
Solche Funktionen werden von Taschenrechnern oder Computerprogrammen benutzt, um sehr schnell Näherungswerte für $e^x$, $\sin (x)$ oder $\ln (x)$ zu berechnen. Hier interessiert uns vor allem, wie weit man diese Potenzreihen beim Rechnen tatsächlich wie Polynome behandeln kann und wo man hier an Grenzen stößt.
\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=a_1+a_2+a_3+\ldots \)
mit $a_k \in \mathbb {R}$ versteht man die Folge der Partialsummen
\(S_n= \displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_k.\)
Die Zahlen $a_k$ heißen Glieder der Reihe. Die Reihe heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert, falls also der Grenzwert \(\lim \limits _{n\to \infty } S_ n\) existiert. Wir schreiben dann auch
\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S\neq\pm\infty.\)
Existiert kein solcher Limes, so nennt man die Reihe divergent.