Beispiele für Kurven im $\mathbb{R}^2$

Beispiele:
  1. Ellipse

    Die Kurve

    \( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}a\cos(t)\\ b\sin(t)\end{array}\right), \qquad \qquad t\in[0,2\pi] \)

    beschreibt eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$. Man kann relativ leicht nachrechnen, dass jeder Punkt $(x,y)=(a\cos(t), b\sin (t))$ tatsächlich eine Lösung der Gleichung

    \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)

    ist.

      Ellipse

  2. Hyperbel

    Die Kurven

    $\vec{\gamma}_{\pm}(t)=\left(\begin{array}{c}\pm a\cosh(t)\\b\sinh(t)\end{array}\right),\qquad \qquad t\in\mathbb{R}$

    beschreiben die beiden Äste einer Hyperbel.

    Hyperbel

  3. Neilsche Parabel

    Die Kurve

    \( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}t^2\\t^3\end{array}\right),\qquad \qquad t\in\mathbb{R} \)

    hat den Namen Neilsche Parabel . Obwohl beide Komponenten unendlich oft differenzierbar sind, hat die Kurve doch eine "nicht glatte" Stelle, in diesem Fall eine Spitze. Es zeigt sich, dass dies nur dann passieren kann, wenn die Geschwindigkeit, mit der diese Spitze durchlaufen wird, Null ist.

    Figures/neilsche_parabel

  4. Zykloide

    Die Kurve

    \( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}t-\sin(t)\\1-\cos(t)\end{array}\right),\qquad \qquad t\in\mathbb{R} \)

    beschreibt die Bahnkurve eines Punktes, der am Rand eines rollenden Rades markiert ist. Wie im vorigen Beispiel gibt es auch hier "Spitzen", nämlich für \(t=0,\pm 2\pi , \pm 4\pi ,\ldots\).

    Figures/zykloide

    Zykloidenbögen treten historisch in der Mechanik öfter auf, zum Beispiel als Brachystochrone, d.h. schnellster Verbindungsweg zweier Punkte oder bei Zykloidenpendel , dessen Periodendauer nicht von der Auslenkung abhängt. Verwandte Kurven sind die Epizykloiden, bei denen ein Kreis auf einem anderen Kreis abrollt. Diese spielen bei der Formgebung von Zahnrädern eine wichtige Rolle.

Sie haben 88% der Lektion erledigt.
88%