Vektorfelder

Vektorfelder spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Durch sie werden vektorielle Größen beschrieben, die von Ort zu Ort variieren, so wie Kräfte, elektrische Felder oder Strömungsgeschwindigkeiten.

Definition (Vektorfeld)

Sei \( U\subset \mathbb {R}^n\) (mit \(n=2\) oder \(n=3\)) eine offene Menge. Ein Vektorfeld auf \(U\) ist eine Funktion \(\vec{v}:U\to \mathbb {R}^n\), die jedem Punkt von \(U\) einen Vektor zuordnet. Wenn \(\vec{v}\) stetig oder differenzierbar ist, dann spricht man von einem stetigen bzw. differenzierbaren Vektorfeld.

Vektorfelder beschreiben beispielsweise in der Fluidmechanik stationäre, d.h. zeitlich unveränderliche Strömungen: An jedem Punkt \(\vec{x}\in U\) gibt es einen Vektor \(\vec{v}(\vec{x})\), der die Geschwindigkeit der Strömung angibt.

Wir haben in Kapitel schon ein wichtiges Vektorfeld kennengelernt: den Gradienten einer differenzierbaren Funktion. Für eine Funktion \(f(x,y)\) von zwei Variablen ist der Gradient \((f_x(x,y),f_y(x,y))\) ein Vektor, der vom Basispunkt \((x,y)\) abhängig ist. Wir können uns dies veranschaulichen, indem wir uns an jeder Stelle \((x,y)\) einen Vektor vorstellen, der gerade in Richtung des Gradienten, also in Richtung des steilsten Anstiegs von \(f\) zeigt.

Wir werden uns demnächst mit der umgekehrten Fragestellung auseinandersetzen, nämlich mit dem Problem, ob ein vorgegebenes Vektorfeld der Gradient einer (unbekannten) Funktion ist.

Ein wichtiges Vektorfeld aus der Physik ist

\(\vec{F}(x,y,z)=\left(-\displaystyle\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},-\displaystyle\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},-\displaystyle\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\)

das vom Punkt \((x,y,z)\) aus in Richtung des Ursprungs zeigt und die Länge

\( \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=\displaystyle\frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^2}\)

hat, also genau den Kehrwert des Quadrats des Abstands von \((x,y,z)\) zum Ursprung. Daher ist \(\vec{F}\) ein radiales, "quadratisch abklingendes" Vektorfeld. Das Vektorfeld \(\vec{F}\) ist der Gradient einer Funktion, denn man kann direkt nachrechnen, dass

\(\vec{F}=\mathrm{grad}\;\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \)

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