Ableitungsregeln

Rechenregeln für Ableitungen kennen wir schon aus der eindimensionalen Differentialrechnung. Sie haben zweierlei Bedeutung: Zum einen besagen sie, dass auch Summen, Vielfache, Produkte oder Verkettungen von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar sind. Damit muss man die Differenzierbarkeit von neuen Funktion nicht jedes Mal mühsam mit Hilfe der ursprünglichen Definition nachweisen. Außerdem liefern die Ableitungsregeln gleich eine Berechnungsmethode für die Ableitungen der zusammengesetzten Funktionen.

Praktischerweise gibt es auch im Mehrdimensionalen ähnliche Sätze.

Satz:

Summen oder Vielfache von differenzierbaren Funktionen \(\vec{f},\vec{g}\colon \mathbb {R}^ n \to \mathbb {R}^m\) sind wie im Eindimensionalen ebenfalls differenzierbare Funktionen und es ist

\(D(\vec{f}+\vec{g})(\vec{x})=D\vec{f}(\vec{x})+D\vec{g}(\vec{x})\;\) und \(\; D(\lambda \vec{f})(\vec{x})=\lambda D\vec{f}(\vec{x}).\)

Hier stehen also die Summe oder das skalare Vielfache von Matrizen.

Bei der Produktregel muss man zunächst sagen, wie das Produkt von zwei Abbildungen definiert ist. Dabei gibt es verschiedene Fälle.

  1. Wenn eine der beiden Abbildungen reellwertig ist, dann ist das Produkt \( (f\cdot \vec{g})(\vec{x}) = f(\vec{x})\cdot \vec{g}(\vec{x})\) definiert und eine vektorwertige Funktion. Für die partiellen Ableitungen gilt dann

    \( \displaystyle\frac{\partial (f\cdot \vec{g})_i}{\partial x_j}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_j}(\vec{x})\cdot g_i(\vec{x})+f(\vec{x})\cdot \displaystyle\frac{\partial g_i}{\partial x_j}(\vec{x}) \)

    Für die Jacobimatrix von \(f\cdot \vec{g}\) bedeutet das

    \( D(f\cdot \vec{g})(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}g_1(\vec{x})\\g_2(\vec{x})\\\vdots\\g_m(\vec{x})\end{array}\right)\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x}),\frac{\partial f}{\partial x_2}(\vec{x}),\ldots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{x})\right)+f(\vec{x})D\vec{g}(\vec{x})=\vec{g}(\vec{x})\vec{\nabla}f(\vec{x})+f(\vec{x})D\vec{g}(\vec{x}) \)

  2. Wenn \(\vec{f},\vec{g} : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^m\) beide vektorwertig sind und man das Skalarprodukt betrachtet ist \((\vec{f} \cdot \vec{g})(\vec{x}) = \vec{f}(\vec{x}) \cdot \vec{g}(\vec{x})=\sum \limits _{k=1}^ m f_k(\vec{x})g_k(\vec{x})\).

    Für die partiellen Ableitungen gilt dann

    \( \displaystyle\frac{\partial (\vec{f}\cdot \vec{g})}{\partial x_j}(\vec{x})=\sum\limits_{k=1}^m\displaystyle\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(\vec{x})\cdot g_k(\vec{x})+f_k(\vec{x})\cdot \displaystyle\frac{\partial g_k}{\partial x_j}(\vec{x}) \)

Daraus ergibt sich dann

Satz (Produktregel):

Sei \(U \subseteq \mathbb {R}^ n\) offen und \( f,\vec{g}: U \rightarrow \mathbb {R}^m\) seien differenzierbare Funktionen. Dann ist die Ableitung des Skalarprodukts \(\vec{f}\cdot \vec{g}= \vec{f}^T(\vec{x}) \vec{g}(\vec{x})\):

\( D(\vec{f}\cdot \vec{g})(\vec{x})=\vec{g}^T(\vec{x})D\vec{f}(\vec{x})+\vec{f}^T(\vec{x})D\vec{g}(\vec{x}) .\)