Totale Differenzierbarkeit

Die partiellen Ableitungen und auch die Richtungsableitungen sind zwar für viele Berechnungen sehr wichtig, mathematisch gesehen sind sie aber Begriffe, die schwächer als die Differenzierbarkeit im eindimensionalen Fall sind.

Kernpunkt der Differentialrechnung ist die Approximation von Funktionen durch einfachere, nämlich affin-lineare Funktionen. Wir betrachten nun vektorwertige Funktionen \(\vec{f}:U \to \mathbb {R}^m\) mit \(U\subset \mathbb {R}^n\), also

\(\vec{f}(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}f_1(\vec{x})\\f_2(\vec{x})\\\vdots\\f_m(\vec{x})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)\\f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)\\\vdots\\f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)\end{array}\right)\)

Differenzierbarkeit einer solchen vektorwertigen Funktion bedeutet, dass sich $\vec{f}$ in der Nähe eines Punktes \(\vec{a}\) gut durch eine affin-lineare Funktion

\( L(\vec{x})=\vec{f}(\vec{a})+A(\vec{x}-\vec{a})\)

mit einer geeignet gewählten \(m\times n\)-Matrix approximieren lässt. Dies ist die Motivation für die folgende Definition.

Definition (Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen)

Sei \(U\subset \mathbb {R}^n\) offen. Die Funktion \(\vec{f}:U\to \mathbb {R}^m\) heißt (total) differenzierbar in \(\vec{a}\in U\), wenn es eine Matrix \(A\) gibt, so dass

\( \lim\limits_{\vec{h}\to 0}\displaystyle\frac{|\vec{f}(\vec{a}+\vec{h})-\vec{f}(\vec{a})-A\vec{h}|}{|\vec{h}|}=0. \)

Wir nennen \(A\) die Ableitung von \(\vec{f}\) an der Stelle \(\vec{a}\) und schreiben \(D\vec{f}(\vec{a})\). Die Matrix \(A\) heißt die Jacobimatrix von \(\vec{f}\).

Bemerkung (Notation):
Andere Namen für \(D\vec{f}\) sind totales Differential oder Funktionalmatrix. Oft schreibt man auch \(\mathrm{d}\vec{f}\) statt \(D\vec{f}\), zum Beispiel in der Thermodynamik.

Der Zähler \(|\vec{f}(\vec{a}+\vec{h})-\vec{f}(\vec{a})-A\vec{h}|\) misst hier den "Abstand" zwischen \(\vec{f}(\vec{a}+\vec{h})\) und der affin-linearen Approximation \(L(\vec{a}+\vec{h})\). Dieser Abstand soll für differenzierbare Funktionen schneller gegen \(0\) konvergieren als \(|\vec{h}|\).

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