Euler-Multiplikatoren

Ist die Differentialgleichung


\(P(x,y)+Q(x,y)y’(x)\;=\; 0\)

nicht exakt, so kann man versuchen, die Differentialgleichung durch Multiplikation mit einer geeigneten Funktion exakt zu machen.

Definition (Integrierender Faktor):
Eine Funktion $M(x,y)$ heißt integrierenden Faktor oder Euler-Multiplikator für die Differentialgleichung

\(P(x,y)+Q(x,y)y’(x)=0,\)

falls die Differentialgleichung

$\underbrace{M(x,y)\cdot P(x,y)}_{\hat{P}(x,y)}+\underbrace{M(x,y)\cdot Q(x,y)}_{\hat{Q}(x,y)}y’(x)=0$

exakt ist.

Es geht also darum, eine Funktion $M(x,y) \ne 0$ so zu bestimmen, dass $\frac{\partial \hat{P}}{\partial y} = \frac{\partial \hat{Q}}{\partial x}$ gilt. Das gelingt im allgemeinen nicht, aber in manchen Fällen existieren Multiplikatoren, die nur von x oder nur von y oder nur vom Produkt \(xy\) abhängen.

Beispielsweise gilt: Falls $\displaystyle\frac {\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q(x,y)}$ nicht mehr von $y$ abhängt, dann existiert ein integrierender Faktor $M(x)$, der nur von $x$ abhängt und der als Lösung einer linearen Differentialgleichung bestimmt werden kann.

Beispiel:

Es sei bekannt, dass die (nicht exakte) Differentialgleichung

$\underbrace{2y\ln(y)}_{=P}+\underbrace{x(1+2\ln(y))}_{=Q}y’(x)=0$

einen nur vom Produkt $x\cdot y$ abhängigen integrierenden Faktor besitzt, Man kann diesen Faktor $M(xy)$ gezielt suchen, indem man die Bedingung $\frac{\partial (MP)}{\partial y}=\frac{\partial (MQ)}{\partial x}$ als Differentialgleichung für $M$ auffasst. Unter Benutzung von

$\frac{\partial (MP)}{\partial y}=M’(xy)\cdot x\cdot P(x,y)+M(x,y)\cdot \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)$

mit der Ableitung $M'(xy)$ von $M$ und

$\frac{\partial (MQ)}{\partial x}=M’(xy)\cdot y\cdot Q(x,y)+M(x,y)\cdot \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)$

gelangt man zu der Differentialgleichung

$(1+2\ln(y))M(x,y)+xy(1+2\ln(y))M’(xy)=2(1+\ln(y))M(x,y)+2xy\ln(y)M’(xy).$

Nach dem Streichen doppelter Terme und mit der Abkürzung $t=xy$ wird daraus die Differentialgleichung

$M(t)=tM’(t)$

die sich mit Trennung der Variablen lösen lässt. Man erhält als Lösung $M(t)=t$ also ist $M(xy)=xy$ ein integrierenden Faktor und schließlich erhält man als Stammfunktion der modifizierten Differentialgleichung $U(x,y)=(xy)^2\ln (y)$. Die Lösungskurven der Differentialgleichung liegen also jeweils in den Niveaumengen

\(K_{\alpha}=\{(x,y);\;(xy)^2\cdot \ln(y)=\alpha\}\)

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