21.3 Exakte Differentialgleichungen
Exakte Differentialgleichungen
Die Stammfunktion eines zweidimensionalen Vektorfelds kann auch benutzt werden, um Lösungen zu einer Klasse von Differentialgleichungen zu finden.
Seien \(P,Q:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) stetig differenzierbare Funktionen. Die Differentialgleichung
\(P(x,y)+Q(x,y)\cdot y'(x)=0\)
heißt exakt, falls es eine Funktion \(U(x,y)\) mit \(\;\displaystyle\frac {\partial U}{\partial x}(x,y) = P(x,y)\;\) und \(\;\displaystyle\frac {\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\;\) gibt.Der Gradient der Funktion $U(x,y)$ soll also gerade das Vektorfeld \(\left(\!\!\begin{array}{c}P(x,y)\\Q(x,y)\end{array}\!\!\right)\) sein.
Manchmal begegnet man auch Differentialgleichungen der Form
\(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=0.\)
Man könnte nun formal durch $\mathrm{d}x$ teilen und so zu der Differentialgleichung
\(P(x,y)+Q(x,y)\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\)
gelangen und nach einer Funktion $y=y(x)$ suchen, die die Differentialgleichung \(P(x,y) + Q(x,y)\cdot y'(x) = 0\) löst. Alternativ könnte man auch (formal!) durch $\mathrm{d}y$ teilen, was auf die Differentialgleichung
\(P(x,y)\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+Q(x,y)=0\)
führt und eine Funktion $x = x(y)$ bestimmen, die der Differentialgleichung \(P(x,y)\cdot x'(y) + Q(x,y) = 0\) genügt. Auch hier spricht man von exakten Differentialgleichungen wenn $\;\frac{\partial U}{\partial x}(x,y) = P(x,y)\;$ und $\;\frac{\partial U}{\partial y} (x,y) = Q(x,y)\;$ ist.Aus der Integrabilitätsbedingung des vorigen Kapitels folgt, dass die Differentialgleichung genau dann exakt ist, wenn überall die Bedingung
\(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\)
gilt.
Die Differentialgleichung \(e^{-y}\, \mathrm{d}x + (1-x\cdot e^{-y})\, \mathrm{d}y = 0\) bzw.
\(\underbrace{e^{-y}}_{=P(x,y)}+\underbrace{(1+x\cdot e^{-y})}_{=Q(x,y)}\cdot y’(x)=0\)
ist exakt, denn $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = -e^{-y} = \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = - e^{-y}$.